Forma indeterminata in un limite goniometrico

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#39813

irene21

Cerchio

Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiuto in un limite con forma indeterminata...ve lo posto!

Ho provato con formule di addizione e sottrazione, con quelle di bisezione, a scomporlo per ottenere un limite notevole, ma nulla...non ci riesco! :(

Grazie anticipatamente!

#39817

Omega

Amministratore

Per calcolare il limite

ci vuole un piccolo trucchetto che fa riferimento alla formula di duplicazione della tangente. Se vediamo

come

, possiamo scrivere

tan((2·(x)/(2))) = (2tan(((x)/(2))))/(1-tan^2((x)/(2)))

dunque il limite diventa

(•) = lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/(1-tan^2((x)/(2))) =

Ora, per definizione di tangente, riscriviamo il denominatore come segue:

$= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/(1-(sin^2(fracx2))/(cos^2(fracx2))) =$

e poi come

$= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/((cos^2(fracx2)-sin^2(fracx2))/(cos^2(fracx2))) =$

A questo punto esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale così da poter esprime il limite nella forma equivalente

Scomponiamo il denominatore con la regola relativa alla differenza di quadrati (prodotti notevoli)

= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2)))cos^2((x)/(2)))/((cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2))))(cos(((x)/(2)))+sin(((x)/(2)))))

e semplifichiamo

= lim_(x → (π)/(2))(2tan(((x)/(2)))cos^2((x)/(2)))/((cos(((x)/(2)))+sin(((x)/(2))))) =

A questo punto possiamo raggiungere il risultato per sostituzione diretta

= (2tan(((π)/(4)))cos^2((π)/(4)))/((cos(((π)/(4)))+sin(((π)/(4))))) = (2·1[(1)/(√(2))]^2)/([(1)/(√(2))+(1)/(√(2))]) = (1)/(√(2))

.

Fine. emt

Già che abbiamo parlato di forme di indecisione, la tabella dei metodi risolutivi per le forme indeterminate potrebbe tornarti utile. emt

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

#39821

irene21 Cerchio	grazie mille davvero sei stato chiarissimo! e grazie anche per la pagina buona giornata a presto! ps grazie ancora
	Ringraziano: Omega

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