Forma indeterminata in un limite goniometrico #39813

avt
irene21
Cerchio
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiuto in un limite con forma indeterminata...ve lo posto!

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\tan(x)

Ho provato con formule di addizione e sottrazione, con quelle di bisezione, a scomporlo per ottenere un limite notevole, ma nulla...non ci riesco! :(

Grazie anticipatamente!
 
 

Forma indeterminata in un limite goniometrico #39817

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare il limite

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\tan(x)=(\bullet)

ci vuole un piccolo trucchetto che fa riferimento alla formula di duplicazione della tangente. Se vediamo \tan{(x)} come \tan{\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)}, possiamo scrivere

\tan{\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)}=\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\tan^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}

dunque il limite diventa

(\bullet)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left[\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\tan^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}=

Ora, per definizione di tangente, riscriviamo il denominatore come segue:

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left[\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\frac{\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}}=

e poi come

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left[\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\frac{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}}=

A questo punto esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale così da poter esprime il limite nella forma equivalente

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left[\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}=

Scomponiamo il denominatore con la regola relativa alla differenza di quadrati (prodotti notevoli)

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left[\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\left(\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\left(\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}+\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}

e semplifichiamo

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\left(\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}+\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}=

A questo punto possiamo raggiungere il risultato per sostituzione diretta

\\ =\frac{2\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\cos^2{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{\left(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)}=\\ \\ \\ =\frac{2\cdot 1\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\right]^2}{\left[\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Fine. emt Già che abbiamo parlato di forme di indecisione, la tabella dei metodi risolutivi per le forme indeterminate potrebbe tornarti utile. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Forma indeterminata in un limite goniometrico #39821

avt
irene21
Cerchio
grazie mille davvero emt sei stato chiarissimo! e grazie anche per la pagina emt buona giornata a presto!
ps grazie ancora emt
Ringraziano: Omega
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Os