Forma indeterminata in un limite goniometrico #39813

avt
irene21
Cerchio
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiuto in un limite con forma indeterminata...ve lo posto!

lim_(x → (π)/(2))(cos((x)/(2))-sin((x)/(2)))tan(x)

Ho provato con formule di addizione e sottrazione, con quelle di bisezione, a scomporlo per ottenere un limite notevole, ma nulla...non ci riesco! :(

Grazie anticipatamente!
 
 

Forma indeterminata in un limite goniometrico #39817

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare il limite

lim_(x → (π)/(2))(cos((x)/(2))-sin((x)/(2)))tan(x) = (•)

ci vuole un piccolo trucchetto che fa riferimento alla formula di duplicazione della tangente. Se vediamo tan(x) come tan((2·(x)/(2))), possiamo scrivere

tan((2·(x)/(2))) = (2tan(((x)/(2))))/(1-tan^2((x)/(2)))

dunque il limite diventa

(•) = lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/(1-tan^2((x)/(2))) =

Ora, per definizione di tangente, riscriviamo il denominatore come segue:

= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/(1-(sin^2(fracx2))/(cos^2(fracx2))) =

e poi come

= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2))))/((cos^2(fracx2)-sin^2(fracx2))/(cos^2(fracx2))) =

A questo punto esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale così da poter esprime il limite nella forma equivalente

= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2)))cos^2((x)/(2)))/(cos^2((x)/(2))-sin^2((x)/(2))) =

Scomponiamo il denominatore con la regola relativa alla differenza di quadrati (prodotti notevoli)

= lim_(x → (π)/(2))[cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2)))](2tan(((x)/(2)))cos^2((x)/(2)))/((cos(((x)/(2)))-sin(((x)/(2))))(cos(((x)/(2)))+sin(((x)/(2)))))

e semplifichiamo

= lim_(x → (π)/(2))(2tan(((x)/(2)))cos^2((x)/(2)))/((cos(((x)/(2)))+sin(((x)/(2))))) =

A questo punto possiamo raggiungere il risultato per sostituzione diretta

 = (2tan(((π)/(4)))cos^2((π)/(4)))/((cos(((π)/(4)))+sin(((π)/(4))))) = (2·1[(1)/(√(2))]^2)/([(1)/(√(2))+(1)/(√(2))]) = (1)/(√(2)).

Fine. emt Già che abbiamo parlato di forme di indecisione, la tabella dei metodi risolutivi per le forme indeterminate potrebbe tornarti utile. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Forma indeterminata in un limite goniometrico #39821

avt
irene21
Cerchio
grazie mille davvero emt sei stato chiarissimo! e grazie anche per la pagina emt buona giornata a presto!
ps grazie ancora emt
Ringraziano: Omega
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Os