Dubbio sull' applicazione del teorema del confronto

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Dubbio sull' applicazione del teorema del confronto #39588

avt
alberto1994
Punto
Volevo porvi un mio dubbio sulla questione del teorema del confronto.

Praticamente quello a cui pensavo è che nel caso del seno o del coseno, quando noi dobbiamo trovarne i limiti per x tendente all'infinito, utilizziamo sempre il teorema del confronto dove poniamo o il seno o il coseno tra -1 e 1.

Ma se la x tende a un valore preciso, porre il coseno tra -1 e 1 e utilizzare cosi il teorema del confronto è sbagliato, vero? Perché sia il coseno che il seno sono compresi tra quei valori, ma il limite non si calcola in quel modo, giusto?

Le mie sono tutte supposizioni, per ora gli unici limiti che ho trovato con il seno o coseno li ho sempre trovati con la x tendente a infinito, ma qualcosa mi rendeva dubbioso e pensandoci...

Volevo avere gentilmente una delucidazione da voi matematici esperti per confermare o bocciare la mia supposizione!

Grazie mille e buona serata!
 
 

Dubbio sull' applicazione del teorema del confronto #39596

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao alberto1994,

il tuo dubbio è legittimo, ma sappi che non esiste una risposta in generale. La cosa importante è che le disuguaglianze risolvano il limite.

Vediamo di fare qualche esempio, nella speranza che io riesca ad aiutarti.

Supponiamo di voler calcolare il limite

\lim_{x\to \infty}\frac{\sin(x)}{x}

Poiché il seno è una funzione limitata con valori compresi tra -1 e +1

-1\le\sin(x)\le 1

e dividendo la doppia disequazione membro a membro per x>0.

-\frac{1}{x}\le \frac{\sin(x)}{x}\le \frac{1}{x}

Quando x tende ad infinito, le funzioni esterne tendono a zero e per il teorema del confronto anche la funzione centrale tende a zero.


Consideriamo ora un altro limite, ad esempio

\lim_{x\to \infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)

Nota che \sin\left(\frac{1}{x}\right) continua ad essere una funzione limitata sempre dalle costanti -1 e 1. Per x>0 possiamo scrivere:

-x\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le x

passando al limite membro a membro

\lim_{x\to \infty}-x\le\lim_{x\to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le \lim_{x\to \infty}x

Il primo limite è meno infinito, il terzo limite è più infinito. Il limite in mezzo può fare qualsiasi cosa! Dobbiamo cambiare necessariamente approccio (qui intervengono le stime asintotiche).


Tendenzialmente puoi tenere a mente questa regola: se l'argomento del seno tende a più infinito, allora utilizza la relazione:

-1\le \sin(x)\le 1

Se l'argomento del seno tende a zero allora conviene sostituire il seno con l'argomento stesso, e questo lo puoi fare per le stime asintotiche (sempre che tu le abbia studiate).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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