Esercizi sulla Serie di Mengoli #39485

avt
Lorenzo94
Cerchio
Buonasera, ho un problema con degli esercizi riguardanti la serie di Mengoli.

L'esercizio richiede: della seguente serie telescopica studiare il carattere e, nel caso convergenti, determinare la somma.

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+9n+20}

Il problema è che il mio professore richiede espressamente di ricorrere alla serie di Mengoli. Come posso fare?
 
 

Re: Esercizi sulla Serie di Mengoli #39491

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Lorenzo94,

la prima cosa da fare consiste nel capire che ci troviamo di fronte ad una serie telescopica.

Per riuscirci dobbiamo applicare il metodo dei fratti semplici.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+9n+20}

Consideriamo l'equazione di secondo grado per ricavare gli zeri del denominatore

n^2+9n+20=0

da cui le soluzioni -5 e -4 e la scomposizione

n^2+9n+20=(n+5)(n+4)

Quindi la sommatoria diventa

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+5)(n+4)}

Ora facciamo intervenire i fratti semplici: vogliamo trovare una decomposizione della forma

\frac{1}{(n+5)(n+4)}=\frac{A}{n+5}+\frac{B}{n+4}

Effettuando i calcoli otteniamo A=1, B=-1, quindi possiamo riscrivere la serie come

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+5)(n+4)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n+5}+\frac{1}{n+4}

A questo punto è facile vedere che si tratta di una serie telescopica, basta scrivere esplicitamente la sommatoria:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n+5}+\frac{1}{n+4}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{6}-...

L'unico termine che sopravvive è \frac{1}{5}, dunque tale è la somma della serie.


Ora veniamo al metodo richiesto dal tuo professore, e cerchiamo di desumere la somma della serie ricorrendo alla serie di Mengoli

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n+5}+\frac{1}{n+4}

Poniamo t=n+4, da cui n=1\to t=5

\sum_{t=5}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}

Per prima cosa devi tenere a mente la serie di Mengoli:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1

Una volta giunto a:

\sum_{t=5}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}

Questa serie parte da 5, ma possiamo rivederla come:

\\ \sum_{t=5}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}= \overbrace{\sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}}^{=1}-\overbrace{\sum_{t=1}^{4}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}}^{=1-\frac{1}{5}}\ \ \ (\bullet)\\ \\ \\ =1-1+\frac{1}{5}= \frac{1}{5}

Se il passaggio (\bullet) non dovesse sembrarti chiaro, ricorda che per definizione di serie abbiamo che:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n= a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+....+a_n+a_{n+1}

Possiamo pensare di raggruppare i primi quattro termini e dal quinto termine in poi:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n= \overbrace{a_1+a_2+a_3+a_4}^{=\sum_{n=1}^{4}a_n}+\overbrace{a_5+a_6+....+a_n+a_{n+1}+...}^{=\sum_{n=5}^{\infty}a_n}

cioè

\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{4}a_n + \color{blue}\sum_{n=5}^{\infty}a_n\color{black}

Nell'esercizio noi vogliamo conoscere la somma della serie in blu, ci facciamo furbi, isoliamo la serie blu al primo membro:

\color{blue}\sum_{n=5}^{\infty}a_n\color{black}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n-\sum_{n=1}^{4}a_n

Tornano all'esercizio abbiamo che:

\sum_{t=5}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}= \sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}-\sum_{t=1}^{4}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}

Ora

\sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t(t+1)}=1

è proprio la serie di Mengoli, mentre

\\ \sum_{t=1}^{4}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}=\\ \\ \\ =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}

ed eliminando i termini opposti otteniamo

=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}

ossia

\sum_{t=1}^{4}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}= 1-\frac{1}{5}

Pertanto possiamo ricavare agilmente la somma della serie richiesto dall'esercizio

\\ \sum_{t=5}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}= \overbrace{\sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}}^{1}-\overbrace{\sum_{t=1}^{4}\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}}^{1-\frac{1}{5}}=\\ \\ \\ =1-\left(1-\frac{1}{5}\right)= \frac{1}{5}
Ringraziano: Omega
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Os