Discontinuità funzioni con i moduli. #39462

avt
Roby95
Punto
Sto combattendo contro la discontinuità e ho notato che tra i tanti esercizi in cui mi sono imbattuto ho trovato una particolare difficoltà soprattutto per quelli che contengono il modulo al loro interno. Se potessi avere il vostro aiuto circa la loro risoluzione ve ne sarei molto grato.

(a) \ \ \ f(x)=\frac{|x|-1}{x^{3}-1}\\ \\ \\ (b)\ \ \ f(x)=\frac{x+2}{|x|-2} \\ \\ \\ (c) \ \ \ f(x)=\frac{|x^{2}+2x|}{x^{2}-4}

Leggendo il regolamento ho notato che si fa chiaramente riferimento al fatto che bisogna cercare di evitare di presentare discussioni come "liste della spesa". So che presentare la prima volta 3 esercizi può essere considerato negativamente ma ne ho estremo bisogno. Un grazie in anticipo!
 
 

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39473

avt
Ifrit
Amministratore
Esercizio (a)

Consideriamo la funzione fratta

(a) \ \ \ f(x)=\frac{|x|-1}{x^3-1}

e determiniamone il dominio imponendo che il denominatore sia diverso da 0

x^3-1\ne0\to x^3\ne1\to x\ne1

Il dominio è dunque

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ x\ne 1\right\}=(-\infty,1)\cup (1,+\infty)

Per tutti i punti del dominio, la funzione risulta continua perché quoziente di funzioni continue, mentre x=1 è un punto di discontinuità.

Per classificarlo, impostiamo il limite destro e il limite sinistro per x\to1 per comprendere il comportamento di f(x) nell'intorno bucato di 1.

Prima di procedere con i calcoli, riteniamo utile esprimere f(x) per casi; in accordo con la definizione di valore assoluto, infatti, si ha che

f(x)=\frac{|x|-1}{x^3-1}=\begin{cases}\frac{x-1}{x^3-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{x^2+x+1}&\mbox{se} \ x\ge 0\wedge x\ne 1\\ \\ \frac{-x-1}{x^3-1}=\frac{-x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

dove abbiamo scomposto il denominatore mediante la regola sulla differenza di cubi.

Sfruttiamo le informazioni in nostro possesso per calcolare il limite destro e il limite sinistro per x\to1.

\lim_{x\to1^{-}}\frac{|x|-1}{x^3-1}=\lim_{x\to1^{-}}\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{3}

Osserviamo che in questo caso siamo nell'intorno sinistro di 1, o più precisamente la variabile x si avvicina a 1 per valori più piccoli di 1.

Chiaramente per avvicinarsi ad 1 da sinistra, x deve comunque superare lo 0 ecco perché utilizziamo il primo ramo della funzione.

Per x\to1^{+} ripetiamo lo stesso ragionamento, x tende a 1 per valori più grandi di 1, in ogni caso x sarà maggiore di 0 e dunque utilizzeremo ancora una volta l'espressione che troviamo nel primo ramo di f(x) così che il limite diventi

\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{3}

Poiché il limite destro e quello sinistro sono finiti e coincidono allora x=1 è un punto di discontinuità eliminabile per f(x).


Esercizio (b)

Analizziamo la funzione

(b) \ \ \ f(x)=\frac{x+2}{|x|-2}

e determiniamone prima di tutto il dominio, imponendo che il denominatore sia diverso da 0. Grazie alla teoria delle equazioni con valore assoluto otteniamo in un paio di passaggi che

|x|-2\ne0\to |x|\ne2\to x\ne\pm2

e dunque il dominio della funzione è

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ | \ x\ne\pm2\right\}

e può essere espresso come l'unione di intervalli come

Dom(f)=(-\infty,-2)\cup (-2,2)\cup (2,+\infty)

In tutti i punti del dominio f(x) risulta continua perché quoziente di funzioni continue, mentre i punti x=-2\ \mbox{e}\ x=2 sono punti di discontinuità da classificare.

Prima di effettuare la classificazione, è opportuno esprimere la funzione definita per casi. Sfruttando la definizione di valore assoluto, possiamo esprimere f(x) per casi

f(x)=\begin{cases}\frac{x+2}{x-2}&\mbox{se} \ x\ge 0\wedge x\ne 2\\ \\ \frac{x+2}{-x-2}=-1&\mbox{se} \ x<0\wedge x\ne-2\end{cases}

in questo modo sarà più semplice calcolare il limite destro e il limite sinistro.

Classifichiamo il punto di discontinuità x=2, considerando il limite destro e il limite sinistro per x\to2, entrambi calcolabili mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

\\ \lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}\frac{x+2}{x-2}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{-}}\frac{x+2}{x-2}=\left[\frac{4}{0^{-}}\right]=-\infty

Poiché i limiti sono infiniti allora x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie e in più l'equazione x=2 definisce un asintoto verticale per f(x).

Consideriamo il punto x=-2 e costruiamo il limite destro e il limite sinistro, stando attenti che, questa volta, il ramo da prendere in considerazione è il secondo giacché quando x tende a -2, tale variabile dovrà diventare negativa prima o poi.

\\ \lim_{x\to-2^{-}}f(x)=\lim_{x\to-2^{-}}-1=-1 \\ \\ \\ \lim_{x\to-2^{+}}f(x)=\lim_{x\to-2^{+}}-1=-1

Poiché il limite destro e quello sinistro sono finiti e coincidono allora x=-2 è un punto di discontinuità eliminabile.


Esercizio (c)

Consideriamo la funzione

(c)\ \ \ f(x)=\frac{|x^2+2x|}{x^2-4}

e determiniamone il dominio imponendo che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo l'equazione di secondo grado pura

x^2-4\ne0\iff x^2\ne 4\iff x\ne\pm2

mediante la quale deduciamo che il dominio della funzione è dato da

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ x\ne\pm2\right\}=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)

Prima di procedere oltre è opportuno esprimere la funzione per rami, sfruttando la definizione di valore assoluto.

|x^2+2x|=\begin{cases}x^2+2x&\mbox{se} \ x^2+2x\ge 0\\ \\ -(x^2+2x)&\mbox{se} \ x^2+2x<0\end{cases}

Esplicitando x dalla disequazione di secondo grado

x^2+2x\ge0\implies x(x+2)\ge0\implies x\le -2\vee x\ge0

pertanto possiamo scrivere

|x^2+2x|=\begin{cases}x(x+2)&\mbox{se} \ x\le-2\vee x\ge 0\\ \\ -x(x+2)&\mbox{se} \ -2<x<0\end{cases}

e dunque la funzione f(x) si esprime nella forma equivalente

f(x)=\begin{cases}\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x}{x-2}&\mbox{se} \ x<-2\vee x\ge 0,\ x\ne 2\\ \\ \frac{-x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{-x}{x-2}&\mbox{se} \ -2<x<0\end{cases}

A questo punto analizziamo i punti di discontinuità che sono x=-2\ \mbox{e} \ x=2, cominciando dal primo.

Consideriamo il limite destro e il limite sinistro per x\to-2, stando particolarmente attenti al ramo della funzione da considerare.

Il simbolo x\to -2^{-} significa che x si avvicina a -2 per valori più piccoli di -2, pertanto la variabile x soddisfa la condizione x<-2 e dunque dovremo prendere in esame la prima condizione.

\lim_{x\to-2^{-}}f(x)=\lim_{x\to-2^{-}}\frac{x}{x-2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}

Quando x\to-2^{+} allora la variabile x si avvicina a -2 per valori maggiori di -2 pertanto prenderemo in considerazione il secondo ramo della funzione per il calcolo del limite

\lim_{x\to-2^{+}}f(x)=\lim_{x\to-2^{+}}\frac{-x}{x-2}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}

Il limite destro e il limite sinistro sono sì finiti, ma non coincidono, da ciò deduciamo che x=-2 è un punto di discontinuità a salto o di prima specie.

Analizziamo il punto x=2 e calcoliamo il limite destro e il limite sinistro per x\to2. In tale occasione, il ramo da prendere in esame per il calcolo dei due limiti è il primo perché possiamo considerare un intorno sufficientemente piccolo di 2 i cui punti soddisfano la prima condizione che definisce la funzione.

In accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi otteniamo

\lim_{x\to2^{-}}\frac{x}{x-2}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=-\infty

mentre

\lim_{x\to2^{+}}\frac{x}{x-2}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty

pertanto possiamo asserire che x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie per f(x) oltre a rappresentare l'equazione dell'asintoto verticale.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Roby95

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39598

avt
Roby95
Punto
Grazie mille per l'attenzione.

In realtà però non riesco a capire bene i passaggi...per esempio nel primo esercizio, appreso che devo studiare il limite sinistro e destro di 1, procedo così:

\lim_{x\to 1^{-}}{\frac{|1^{-}|-1}{1^{-}-1}

mi trovo alla fine \frac{0^{+}}{0^{-}} che è uguale a -1

nel secondo caso attuando il limite di x che tende a 1 dalla destra mi trovo come risultato 1.

Ora avendo trovato due limiti finiti ma che non coincidono sono portato a considerare che la discontinuità sia di primo grado..mentre invece il mio libro sostiene che è di terzo grado. Com'è possibile? possiamo svolgere i passaggi insieme? Ve ne sarei molto grato. Un grazie in anticipo!

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39609

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti,

l'errore, Roby95, riguarda il calcolo del limite: \left[\frac{0}{0}\right] è una forma di indecisione, della quale non puoi conoscere a priori il risultato. In questi casi il valore del limite non può essere calcolato con le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, deve piuttosto essere calcolato seguendo altre strade (metodi di risoluzione per le forme di indecisione).

Nel caso della funzione

f(x)=\frac{|x|-1}{x^3-1}

che riscriviamo dopo aver scomposto il denominatore con i prodotti notevoli

f(x)=\frac{|x|-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

bisogna calcolare i due limiti da sinistra e da destra per x\to 1: in entrambi i casi osserva che essendo x\to 1, si può riscrivere il modulo a numeratore come |x|=x.

Tale passaggio è assolutamente lecito nel calcolo dei due limiti

\\ \lim_{x\to 1^{-}}\frac{|x|-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{(x^2+x+1)}=\frac{1}{3}

\\ \lim_{x\to 1^{+}}\frac{|x|-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1}{(x^2+x+1)}=\frac{1}{3}

In x=1 abbiamo proprio una discontinuità è di terza specie (i dettagli nel link indicato in precedenza da Ifrit).
Ringraziano: Pi Greco, Roby95

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39830

avt
Roby95
Punto
Quindi se la x tende a 1, che è un numero positivo, potremmo togliere il valore assoluto senza troppi problemi, considerando la x come un numero positivo?

Sarebbe possibile risolvere insieme anche gli altri due esercizi? ci sto provando ma non riesco a capirli. Mi sarebbe di grande aiuto.

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39836

avt
Omega
Amministratore
Basta applicare la definizione di valore assoluto: se il modulo è applicato ad una quantità positiva, puoi eliminarlo direttamente, mentre se è applicato ad una quantità negativa, puoi eliminarlo a patto di anteporre un segno meno all'intero argomento.

---

Va bene, ma mi limito al secondo: voglio vedere se poi sei in grado di risolvere il terzo con le ulteriori indicazioni che sto per darti.

La funzione è

f(x)=\frac{x+2}{|x|-2}

e il suo dominio di ricava imponendo che il denominatore non sia nullo, i.e.

|x|-2\neq 0\Rightarrow x\neq \pm 2

I candidati punti di discontinuità sono proprio quelli che annullano il denominatore: x=+2, x=-2.

Calcoliamo i due limiti sinistro e destro, in entrambi i casi.

\lim_{x\to 2^{-}}{\frac{x+2}{|x|-2}}\mbox{ ; }\lim_{x\to 2^{+}}{\frac{x+2}{|x|-2}}

Dato che x\to 2^{\pm}, puoi eliminare il modulo in |x| lasciando l'argomento invariato

\lim_{x\to 2^{-}}{\frac{x+2}{x-2}}=-\infty\mbox{ ; }\lim_{x\to 2^{+}}{\frac{x+2}{x-2}}=+\infty

Ho calcolato entrambi i limiti con le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Per x=-2

\lim_{x\to (-2)^{-}}{\frac{x+2}{|x|-2}}\mbox{ ; }\lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{x+2}{|x|-2}}

possiamo eliminare il modulo, anteponendo però un segno meno all'argomento

\lim_{x\to (-2)^{-}}{\frac{x+2}{-x-2}}=-1\mbox{ ; }\lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{x+2}{-x-2}}=-1

In definitiva: x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie, x=-2 è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile).
Ringraziano: Roby95

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39840

avt
Roby95
Punto
Perfetto allora avevo capito bene e mi trovo esattamente come te al secondo. Ora provo a svolgere il terzo... appena lo finisco ti faccio sapere.

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39849

avt
Roby95
Punto
Allora ho appena finito il terzo. Svolgo cosi:

\lim_{x\to 2^{+}}{\frac{|x^{2}+2x|}{x^{2}-4}}

Attraverso l'algebra degli infinitesimi ho: \lim_{x\to2^{+}}{\frac{8}{0^{+}}}=+\infty

poi \lim_{x\to 2^{-}}{\frac{|x^{2}+2x|}{x^{2}-4}} abbiamo nuovamente \frac{8}{0^{+}}}=+\infty

Quindi il punto 2 è un punto di discontinuità di seconda specie.

Ora..\lim_{x\to -2^{+}}{\frac{|x^{2}+2x|}{x^{2}-4}}

Dato che la x tende ad un numero negativo togliamo il valore assoluto a patto che prima vi si anteponga il segno meno. Otteniamo

\lim_{x \to -2^{-}}{\frac{-x^{2}-2x}{x^{2}-4}}.

Attraverso la messa in evidenza e la semplificazione mi ritrovo

\lim_{x\to -2^{+}}{\frac{-x}{x-2}} = -\frac{1}{2}.

Lo stesso vale per l'intorno sinistro di meno 2...Quindi il punto -2 dovrebbe essere di discontinuità di terza specie. Invece il mio libro sostiene che è discontinuo per la prima specie. Dove sbaglio?

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39858

avt
Omega
Amministratore
La parte relativa al punto di discontinuità di seconda specie va bene.

Per il punto x=-2, invece, hai fatto un po' di casotto con i più e i meno.

Ogni volta che hai a che fare con dei polinomi ti consiglio di scomporli sin da subito

\frac{|x^2+2x|}{x^2-4}=\frac{|x(x+2)|}{(x+2)(x-2)}=

Il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei modulo

=\frac{|x||x+2|}{(x+2)(x-2)}

Al tendere di x\to (-2)^{-} e di x\to (-2)^{+} possiamo sostituire |x| con -x. Per quel che riguarda il fattore |x+2|, dobbiamo specificare se il limite è calcolato da sinistra o da destra:

**) |x+2|=-(x+2) in un intorno sinistro di x=-2, infatti in tale intorno x+2<0

**) |x+2|=+(x+2) in un intorno destro di x=-2, infatti in tale intorno x+2>0

Di conseguenza

\lim_{x\to (-2)^{-}}{\frac{[-x][-(x+2)]}{(x+2)(x-2)}}=\lim_{x\to (-2)^{-}}{\frac{x}{(x-2)}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}

\lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{[-x][+(x+2)]}{(x+2)(x-2)}}=\lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{-x}{(x-2)}}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}

e x=-2 è un punto di discontinuità di prima specie.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Roby95

Re: Discontinuità funzioni con i moduli. #39862

avt
Roby95
Punto
Grazie mille. In questi giorni mi eserciterò tantissimo avendo fatto tesoro anche delle tue "dritte". Ti ringrazio ancora.
Ringraziano: Omega
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