Discontinuità funzioni con i moduli.

Sto combattendo contro la discontinuità e ho notato che tra i tanti esercizi in cui mi sono imbattuto ho trovato una particolare difficoltà soprattutto per quelli che contengono il modulo al loro interno. Se potessi avere il vostro aiuto circa la loro risoluzione ve ne sarei molto grato.



Leggendo il regolamento ho notato che si fa chiaramente riferimento al fatto che bisogna cercare di evitare di presentare discussioni come "liste della spesa". So che presentare la prima volta 3 esercizi può essere considerato negativamente ma ne ho estremo bisogno. Un grazie in anticipo!

Esercizio (a)

Consideriamo la funzione fratta



e determiniamone il dominio imponendo che il denominatore sia diverso da 0



Il dominio è dunque



Per tutti i punti del dominio, la funzione risulta continua perché quoziente di funzioni continue, mentre è un punto di discontinuità.

Per classificarlo, impostiamo il limite destro e il limite sinistro per per comprendere il comportamento di nell'intorno bucato di 1.

Prima di procedere con i calcoli, riteniamo utile esprimere per casi; in accordo con la definizione di valore assoluto, infatti, si ha che



dove abbiamo scomposto il denominatore mediante la regola sulla differenza di cubi.

Sfruttiamo le informazioni in nostro possesso per calcolare il limite destro e il limite sinistro per .



Osserviamo che in questo caso siamo nell'intorno sinistro di 1, o più precisamente la variabile si avvicina a 1 per valori più piccoli di 1.

Chiaramente per avvicinarsi ad 1 da sinistra, deve comunque superare lo 0 ecco perché utilizziamo il primo ramo della funzione.

Per ripetiamo lo stesso ragionamento, tende a 1 per valori più grandi di 1, in ogni caso sarà maggiore di 0 e dunque utilizzeremo ancora una volta l'espressione che troviamo nel primo ramo di così che il limite diventi



Poiché il limite destro e quello sinistro sono finiti e coincidono allora è un punto di discontinuità eliminabile per .


Esercizio (b)

Analizziamo la funzione



e determiniamone prima di tutto il dominio, imponendo che il denominatore sia diverso da 0. Grazie alla teoria delle equazioni con valore assoluto otteniamo in un paio di passaggi che



e dunque il dominio della funzione è



e può essere espresso come l'unione di intervalli come



In tutti i punti del dominio risulta continua perché quoziente di funzioni continue, mentre i punti sono punti di discontinuità da classificare.

Prima di effettuare la classificazione, è opportuno esprimere la funzione definita per casi. Sfruttando la definizione di valore assoluto, possiamo esprimere per casi



in questo modo sarà più semplice calcolare il limite destro e il limite sinistro.

Classifichiamo il punto di discontinuità , considerando il limite destro e il limite sinistro per , entrambi calcolabili mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.



Poiché i limiti sono infiniti allora è un punto di discontinuità di seconda specie e in più l'equazione definisce un asintoto verticale per .

Consideriamo il punto e costruiamo il limite destro e il limite sinistro, stando attenti che, questa volta, il ramo da prendere in considerazione è il secondo giacché quando tende a -2, tale variabile dovrà diventare negativa prima o poi.



Poiché il limite destro e quello sinistro sono finiti e coincidono allora è un punto di discontinuità eliminabile.


Esercizio (c)

Consideriamo la funzione



e determiniamone il dominio imponendo che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo l'equazione di secondo grado pura



mediante la quale deduciamo che il dominio della funzione è dato da



Prima di procedere oltre è opportuno esprimere la funzione per rami, sfruttando la definizione di valore assoluto.



Esplicitando dalla disequazione di secondo grado



pertanto possiamo scrivere



e dunque la funzione si esprime nella forma equivalente



A questo punto analizziamo i punti di discontinuità che sono , cominciando dal primo.

Consideriamo il limite destro e il limite sinistro per , stando particolarmente attenti al ramo della funzione da considerare.

Il simbolo significa che si avvicina a -2 per valori più piccoli di -2, pertanto la variabile soddisfa la condizione e dunque dovremo prendere in esame la prima condizione.



Quando allora la variabile si avvicina a -2 per valori maggiori di -2 pertanto prenderemo in considerazione il secondo ramo della funzione per il calcolo del limite



Il limite destro e il limite sinistro sono sì finiti, ma non coincidono, da ciò deduciamo che è un punto di discontinuità a salto o di prima specie.

Analizziamo il punto e calcoliamo il limite destro e il limite sinistro per . In tale occasione, il ramo da prendere in esame per il calcolo dei due limiti è il primo perché possiamo considerare un intorno sufficientemente piccolo di 2 i cui punti soddisfano la prima condizione che definisce la funzione.

In accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi otteniamo



mentre



pertanto possiamo asserire che è un punto di discontinuità di seconda specie per oltre a rappresentare l'equazione dell'asintoto verticale.

Grazie mille per l'attenzione.

In realtà però non riesco a capire bene i passaggi...per esempio nel primo esercizio, appreso che devo studiare il limite sinistro e destro di 1, procedo così:



mi trovo alla fine che è uguale a -1

nel secondo caso attuando il limite di x che tende a 1 dalla destra mi trovo come risultato 1.

Ora avendo trovato due limiti finiti ma che non coincidono sono portato a considerare che la discontinuità sia di primo grado..mentre invece il mio libro sostiene che è di terzo grado. Com'è possibile? possiamo svolgere i passaggi insieme? Ve ne sarei molto grato. Un grazie in anticipo!

Ciao a tutti,

l'errore, Roby95, riguarda il calcolo del limite: è una forma di indecisione, della quale non puoi conoscere a priori il risultato. In questi casi il valore del limite non può essere calcolato con le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, deve piuttosto essere calcolato seguendo altre strade (metodi di risoluzione per le forme di indecisione).

Nel caso della funzione



che riscriviamo dopo aver scomposto il denominatore con i prodotti notevoli



bisogna calcolare i due limiti da sinistra e da destra per : in entrambi i casi osserva che essendo , si può riscrivere il modulo a numeratore come .

Tale passaggio è assolutamente lecito nel calcolo dei due limiti





In abbiamo proprio una discontinuità è di terza specie (i dettagli nel link indicato in precedenza da Ifrit).

Quindi se la tende a 1, che è un numero positivo, potremmo togliere il valore assoluto senza troppi problemi, considerando la x come un numero positivo?

Sarebbe possibile risolvere insieme anche gli altri due esercizi? ci sto provando ma non riesco a capirli. Mi sarebbe di grande aiuto.

Basta applicare la definizione di valore assoluto: se il modulo è applicato ad una quantità positiva, puoi eliminarlo direttamente, mentre se è applicato ad una quantità negativa, puoi eliminarlo a patto di anteporre un segno meno all'intero argomento.

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Va bene, ma mi limito al secondo: voglio vedere se poi sei in grado di risolvere il terzo con le ulteriori indicazioni che sto per darti.

La funzione è



e il suo dominio di ricava imponendo che il denominatore non sia nullo, i.e.



I candidati punti di discontinuità sono proprio quelli che annullano il denominatore: , .

Calcoliamo i due limiti sinistro e destro, in entrambi i casi.



Dato che , puoi eliminare il modulo in lasciando l'argomento invariato



Ho calcolato entrambi i limiti con le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Per



possiamo eliminare il modulo, anteponendo però un segno meno all'argomento



In definitiva: è un punto di discontinuità di seconda specie, è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile).

Perfetto allora avevo capito bene e mi trovo esattamente come te al secondo. Ora provo a svolgere il terzo... appena lo finisco ti faccio sapere.

Allora ho appena finito il terzo. Svolgo cosi:



Attraverso l'algebra degli infinitesimi ho:

poi abbiamo nuovamente

Quindi il punto 2 è un punto di discontinuità di seconda specie.

Ora..

Dato che la x tende ad un numero negativo togliamo il valore assoluto a patto che prima vi si anteponga il segno meno. Otteniamo



Attraverso la messa in evidenza e la semplificazione mi ritrovo



Lo stesso vale per l'intorno sinistro di meno 2...Quindi il punto -2 dovrebbe essere di discontinuità di terza specie. Invece il mio libro sostiene che è discontinuo per la prima specie. Dove sbaglio?

La parte relativa al punto di discontinuità di seconda specie va bene.

Per il punto , invece, hai fatto un po' di casotto con i più e i meno.

Ogni volta che hai a che fare con dei polinomi ti consiglio di scomporli sin da subito



Il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei modulo



Al tendere di e di possiamo sostituire con . Per quel che riguarda il fattore , dobbiamo specificare se il limite è calcolato da sinistra o da destra:

**) in un intorno sinistro di , infatti in tale intorno

**) in un intorno destro di , infatti in tale intorno

Di conseguenza





e è un punto di discontinuità di prima specie.

Grazie mille. In questi giorni mi eserciterò tantissimo avendo fatto tesoro anche delle tue "dritte". Ti ringrazio ancora.