Dominio di una funzione trascendente trigonometrica

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#39014
avt
JohnnyR
Cerchio

Ho alcune perplessità sul dominio di una funzione esponenziale a base variabile che coinvolge sia il seno che la funzione logaritmo. Quali sono le condizioni da imporre?

Determinare il dominio della seguente funzione

f(x) = (2sin(x)+√(3))^(ln(2sin(x)−1))

Grazie mille!

#39027
avt
Ifrit
Amministratore

L'esercizio ci chiede di trovare il dominio della funzione esponenziale a base variabile

f(x) = (2sin(x)+√(3))^(ln(2sin(x)−1))

e per farlo dobbiamo imporre le seguenti condizioni di esistenza:

- la base dell'esponenziale dev'essere positiva

2sin(x)+√(3) > 0

- l'argomento del logaritmo dev'essere positivo

2sin(x)−1 > 0

Naturalmente le due condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiscono il sistema di disequazioni goniometriche

2sin(x)+√(3) > 0 ; 2sin(x)−1 > 0

che possiamo risolvere con una sostituzione ad hoc. Se poniamo t = sin(x), il sistema diventa

2t+√(3) > 0 → t > −(√(3))/(2) ; 2t−1 > 0 → t > (1)/(2)

da cui

t > (1)/(2)

Ripristiniamo x: poiché t = sin(x), la precedente relazione si tramuta nella disequazione goniometrica

sin(x) > (1)/(2)

che è soddisfatta per

(π)/(6)+2kπ < x < (5π)/(6)+2kπ con k∈Z

In conclusione, il dominio della funzione esponenziale è

Dom(f) = x∈R : (π)/(6)+2kπ < x < (5π)/(6)+2kπ con k∈Z

Abbiamo finito!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, JohnnyR
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