Dominio di una funzione trascendente trigonometrica

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Dominio di una funzione trascendente trigonometrica #39014

avt
JohnnyR
Cerchio
Ho alcune perplessità sul dominio di una funzione esponenziale a base variabile che coinvolge sia il seno che la funzione logaritmo. Quali sono le condizioni da imporre?

Determinare il dominio della seguente funzione

f(x)=\left(2\sin(x)+\sqrt{3}\right)^{\ln(2\sin(x)-1)}

Grazie mille!
 
 

Dominio di una funzione trascendente trigonometrica #39027

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di trovare il dominio della funzione esponenziale a base variabile

f(x)=\left(2\sin(x)+\sqrt{3}\right)^{\ln(2\sin(x)-1)}

e per farlo dobbiamo imporre le seguenti condizioni di esistenza:

- la base dell'esponenziale dev'essere positiva

2\sin(x)+\sqrt{3}>0

- l'argomento del logaritmo dev'essere positivo

2\sin(x)-1>0

Naturalmente le due condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiscono il sistema di disequazioni goniometriche

\begin{cases}2\sin(x)+\sqrt{3}>0\\ \\ 2\sin(x)-1>0\end{cases}

che possiamo risolvere con una sostituzione ad hoc. Se poniamo t=\sin(x), il sistema diventa

\begin{cases}2t+\sqrt{3}>0\ \ \ \to \ \ \ t>-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ 2t-1>0\ \ \ \to \ \ \ t>\dfrac{1}{2}\end{cases}

da cui

t>\frac{1}{2}

Ripristiniamo x: poiché t=\sin(x), la precedente relazione si tramuta nella disequazione goniometrica

\sin(x)>\frac{1}{2}

che è soddisfatta per

\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In conclusione, il dominio della funzione esponenziale è

\mbox{Dom}(f)=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ \frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\right\}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, JohnnyR
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Os