Stabilire se una funzione è continua in un punto (funzione logaritmica)

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Stabilire se una funzione è continua in un punto (funzione logaritmica) #3868

avt
beps92
Cerchio
Buongiorno a tutti,

vi disturbo per un esercizio sullo studio della continuità di una funzione logaritmica in un punto.

Sto facendo qualche esercizio proposto da Youmath in questa pagina: esercizi sulla continuità, devo stabilire se una funzione è continua in un punto. Ho però trovato una piccola difficoltà nella sottrazione di una costante ad un logaritmo (anch'esso costante). Non capisco quando esco dal dominio, si tratta di una funzione logaritmica...

Verificare la continuità della seguente funzione nel punto \frac{1}{2}.

y=\ln(1-2x)

Io tendo a ragionare nel seguente modo: la x è fissata, e vale \frac{1}{2}.

Per capire quanto vale la mia y sostituisco e trovo: 0-1=-1.

Dunque la funzione è continua nel punto (1/2;-1).non capisco perché nelle soluzioni si dica che non è definita. È vero che il dominio dei logaritmo è solo nel semiasse positivo, ma, in questo caso, cosa importa?


Altro esercizio

Verificare la continuità nel punto -3 della funzione

y=\frac{\ln(4+x)}{x+3}.

a me il limite viene -\infty dunque non dovrebbe essere definita, invece le soluzioni dicono di si...


Esercizio VIII (sempre del primo gruppo).

Questo ha fatto crollare tutte le mie certezze. la funzione non dovrebbe esistere (ponendo il denominatore diverso da zero) per tutte le x tranne 0 e \pm\frac{1}{2}\ ? Perché si dice che è continua in zero? Sì, i limiti esistono e sono coincidenti e finiti,+2 ma la funzione non è definita nel punto 0!
 
 

Stabilire se una funzione è continua in un punto (funzione logaritmica) #3872

avt
Omega
Amministratore
Ciao Beps92,

per quanto riguarda la prima funzione, ecco la soluzione del mistero

y=\ln{(1-2x)}

essa non è definita in x=\frac{1}{2}, perché risulterebbe

f\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(0)

e da che mondo è mondo i logaritmi non sono definiti per argomento uguale a zero.


Per quanto riguarda la funzione

y=\frac{\ln(4+x)}{3+x}

invece, in x=-3 c'è una discontinuità eliminabile (terza specie): basta osservare che il limite per x\to-3 esiste finito:

\lim_{x\to-3}\frac{\ln(4+x)}{x+3}=\lim_{x\to-3}\frac{\ln[1+(x+3)]}{x+3}=1

dopo aver applicato il limite notevole del logaritmo. A questo punto basta definire puntualmente in x=-3 la funzione come f(-3)=1 ed hai la continuità nel punto.


Infine: rullo di tamburi

f(x)=\frac{x^3+2x}{x-4x^3}

è una funzione razionale fratta avente per dominio

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ | \ x\ne 0\wedge x\ne\pm\frac{1}{2}\right\}

che si ottiene imponendo che il denominatore di f(x) sia differente da 0, ossia

x-4x^3\ne0

Raccogliendo totalmente x

x(1-4x^2)\ne0

e scomponendo la differenza di quadrati otteniamo

x\left(1-2x\right)(1+2x)\ne0\iff x\ne0\wedge x\ne\pm\frac{1}{2}

Solo dopo aver determinato il dominio, possiamo effettuare le semplificazioni dovute

f(x)=\frac{x^3+2x}{x-4x^3}=\frac{x(x^2+2)}{x(1-4x^2)}=\frac{x^2+2}{1-4x^2}

e osservare che x=0 è un punto di discontinuità eliminabile giacché il limite destro e sinistro per x\to0 esistono finiti e coincidono:

\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^2+2}{1-4x^2}=2=\lim_{x\to0^{-}}\frac{x^2+2}{1-4x^2}=\lim_{x\to0^{-}}f(x)

Possiamo considerare l'esercizio concluso.
Ringraziano: frank094, beps92
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