Limite con logaritmi e radici #3843

avt
beps92
Cerchio
Ciao, potreste darmi una mano? Ho il limite di un rapporto con radici e francamente non ho idea di come affrontarlo, qualsiasi suggerimento è ben'accetto

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+1}}
 
 

Re: Limite con logaritmi e radici #3844

avt
frank094
Maestro
Ciao beps92,

il passaggio si può spiegare facilmente ricorrendo al confronto tra infiniti: numeratore e denominatore hanno lo stesso ordine di infinito quindi tendono al rapporto tra i coefficienti delle x.

In alternativa si può risolvere il limite

\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+1}}=

raccogliendo \sqrt{x} a numeratore e raccogliendo x all'interno del radicando a denominatore

=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}}=

Facciamo intervenire la proprietà delle radici secondo cui la radice quadrata di un prodotto coincide con il prodotto delle radici dei singoli fattori, a patto che questi siano non negativi

=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} \right)}=(\bullet)

Semplifichiamo \sqrt{x} ed osserviamo che quando x\to +\infty i termini

\\ \frac{1}{\sqrt{x}}\to 0 \\ \\ \\ \frac{1}{x}\to 0

di conseguenza il limite diventa

(\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1}=1

Terminato!
Ringraziano: Omega, beps92

Re: Limite con logaritmi e radici #3845

avt
beps92
Cerchio
oddio, era una stupidata emt
grazie mille, è che a volte non penso alle cose più semplici emt
Ringraziano: frank094
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Os