Studio di due funzioni fratte con esponenziali e modulo

Buonasera a tutti! Qualcuno mi potrebbe aiutare con lo studio di due funzioni fratte con esponenziali e modulo?

La prima funzione fratta che devo studiare è questa



Quando arrivo a calcolare i limiti della funzione mi blocco!

La seconda funzione che devo studiare è



Quando faccio il dominio devo sostituire una volta il segno + e una volta il segno meno al denominatore?

Grazie mille!

Buonasera lullabi, iniziamo con la prima e seguiamo il procedimento per lo studio di funzione fino ai limiti.


L' insieme di definizione è facilmente calcolabile in quanto l'unico problema potrebbe darlo il denominatore, ma di conseguenza possiamo identificare il dominio della funzione con l'insieme dei numeri reali:


Vediamo ora se la funzione è pari, dispari o nessuno dei due calcolando :


La relazione che sussiste è


di conseguenza la funzione è dispari ( simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani ).

Studiamo adesso l'intersezione con l'asse delle y, calcolando , e con l'asse delle y risolvendo l'equazione particolare associata.


Con l'asse delle y si interseca nel punto (0, 0) .. a questo punto risolvendo l'equazione associata si nota che l'unica soluzione è x = 0, ciò implica che l'unico punto di intersezione è


Studiamo infine il segno della funzione ponendo per vedere quanto è positiva e per quando è negativa.


Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è positivo quando x è maggiore di zero e negativo quando x è minore di zero. Diciamo quindi che



Adesso il tanto agognato calcolo dei limiti che a quanto dici ti procura problemi nell'andare avanti; vediamo come si comporta la funzione quando la x tende a più infinito:


Il risultato scaturisce dal fatto che il termine 1 / e^x tende a zero quando x tende ad infinito di conseguenza 1/1 = 1.

Vediamo ora il comportamento della funzione dal lato opposto:


Il procedimento è simile a quello sopra .. infatti se x tende a meno infinito e^x tende a zero, viene quindi - 1 / 1 = - 1.

Ok, a questo punto che cos'altro devi studiare? Derivata, Asintoti, e punti particolari ( flesso, angolosi, cuspidi, ecc.. ) ?
Una volta che abbiamo terminato con questa funzione passiamo all'altra, ok ?

Grazie mille! Dato che siamo solo agli inizi non lo facciamo completo, è rimasto solo da trovare gli eventuali asintoti.

Nessun problema !

Gli asintoti si trovano assai facilmente: essendo la funzione continua in tutto il suo dominio , non presenta asintoti verticali ( quelli della forma x = k ); vediamo per quelli obliqui/orizzontali.

Il coefficiente angolare dei possibili asintoti obliqui si trova facendo il limite per x che tende a più infinito ( meno infinito ) della funzione divisa per x; in questo caso possiamo vederli insieme tanto il risultato non cambia:


I termini noti invece sono diversi e sono dati dal limite per x che tende a più infinito ( meno infinito ) della funzione - mx .. ma essendo m = 0 ci troviamo a risolvere gli stessi limiti studiati in precedenza:



I due asintoti orizzontali sono dunque


E' tutto chiaro? Intanto che mi rispondi inizio ad elaborare la seconda funzione ( ci vorrà un po' di più per la presenza del modulo ) !

Analizziamo adesso la seconda funzione


La definizione di modulo ci consente di spezzare la funzione e studiarla in maniera semplificata e sicuramente più conveniente:


La funzione per questo motivo risulta continua e definita in tutto l'insieme dei numeri reali ( prova a risolvere l'equazione denominatore = 0 per convincertene ); troviamo così che l'insieme di definizione è


La funzione si vede immediatamente non presentare alcuna simmetria né con l'asse delle y né con l'origine degli assi cartesiani ( non è né pari né dispari ) perciò possiamo passare all'intersezione con gli assi.


Ci da l'intersezione con l'asse delle y; se ci fai caso ho sostituito 0 alla seconda funzione e non a quella iniziale: 0 è minore di 1 di conseguenza posso lavorare direttamente con .
Per quanto riguarda l'asse delle x, la funzione si annulla solo quando si annulla numeratore .. di conseguenza si ha


I punti di intersezione con gli assi sono quindi


Studiamo adesso il segno della funzione facendo solo alcune considerazioni sulle due funzioni in gioco. E' chiaro che , nel suo insieme di definizione, è sempre positiva perché sia numeratore che denominatore sono sempre maggiori di zeri; , nel suo insieme di definizione, è sempre negativa. Schematizzando:


Infine vediamo come si comporta la funzione quando x tende a più infinito ( meno infinito ); inutile dire che se x tende a più infinito prendo la funzione definita in per x > 1, se x tende a meno infinito la funzione definita in x < 1:



Di asintoti verticali, essendo la funzione continua in tutto il suo dominio, non ve ne sono; di asintoti orizzontali nemmeno dato che la funzione tende a + infinito da una parte e a - infinito dall'altra; vediamo gli obliqui:



Non esistono neanche asintoti obliqui; è tutto chiaro ?

Chiarissimo:) grazie mille ancora! Sempre gentilissimi!