Esercizi su funzioni iniettive o suriettive o biiettive

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Esercizi su funzioni iniettive o suriettive o biiettive #38154

avt
martapionni
Punto
Salve, sono ancora io, con un altro problema sulle funzioni iniettive, suriettive e biettive da sottoporvi.

Traccia del problema: stabilisci se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive ed eventualmente biunivoche usando il metodo grafico.

(a) \ \ \ f:\mathbb{R}^+ \cup \{0\} \to (-\infty,5]\\ \\ \mbox{tale che }\ x\to y=f(x)=-x^2+5\\ \\ (b) \ \ \ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\cup\{0\}\\ \\ \mbox{tale che }\ x\to y=f(x)=(8x+1)^2

Grazie in anticipo e grazie anche per gli aiuti precedenti mi sono stati davvero utili!
 
 

Esercizi su funzioni iniettive o suriettive o biiettive #38163

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo con il primo esercizio.

Consideriamo la funzione

\\ f:\mathbb{R}^{+}\cup\{0\}\to (-\infty,5] \ \ \ ; \ \ \ f(x)=-x^2+5

con dominio Dom(f)=[0, +\infty) e ]codominio Cod(f)=(-\infty, 5], entrambi forniti dall'intestazione della funzione.

Dato che è facile rappresentare la funzione procederemo con il metodo grafico.

Il grafico di f(x) coincide con il ramo di parabola di vertice V(0,5), concava e passante per il punto P(\sqrt{5},0)

esercizio su funzioni iniettive o suriettive o biettive 1

Dal grafico capiamo che l'immagine della funzione è (-\infty, 5] quindi la funzione è certamente suriettiva infatti per ogni retta orizzontale, cioè parallela all'asse x, di equazione:

y=y_0\ \mbox{con} \ y_0\in (-\infty, 5]

intersecherà certamente il grafico della funzione in (almeno) un punto.

Equivalentemente possiamo asserire che la funzione è suriettiva perché la sua immagine coincide con il codominio:

Cod(f)=(-\infty,5]=Im(f)

esercizio su funzioni iniettive o suriettive o biettive 2

Inoltre, osservando che le rette orizzontali, intersecano il grafico in un unico punto, concludiamo che la funzione è anche iniettiva, pertanto f(x) è una funzione biunivoca.


Secondo esercizio

Per dimostrare che

f(x)=(8x+1)^2

sia una funzione iniettiva e/o suriettiva osserviamo preliminarmente che il suo dominio è dominio è Dom(f)=\mathbb{R} mentre il codominio, dato dall'intestazione della funzione è Cod(f)=\mathbb{R}^{+}\cup\{0\}

Dal punto di vista geometrico, la funzione

f(x)= (8x+1)^2

rappresenta una parabola di vertice V\left(-\frac{1}{8},0\right) convessa.

Tracciando le rette parallele all'asse delle ascisse di equazione y=y_0 con y_0\in Cod(f) ci accorgiamo che tutte intersecano il grafico in almeno un punto, quindi la funzione è suriettiva.

In questo caso però non è iniettiva perché ci sono rette che incontrano la parabola in 2 punti distinti, viene quindi meno la definizione di funzione iniettiva.

esercizio su funzioni iniettive o suriettive o biettive 3


Ecco due lezioni che fanno al caso tuo:

- come controllare se una funzione è iniettiva;

- come controllare se una funzione è suriettiva.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, martapionni

Esercizi su funzioni iniettive o suriettive o biiettive #38190

avt
martapionni
Punto
Grazie mille.
Ringraziano: Ifrit
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Os