Vero o falso su flessi e derivata seconda

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Vero o falso su flessi e derivata seconda #37749

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, in queste domande vero o falso devo verificare la validità delle seguenti affermazioni su flessi e derivate seconde. Riporto anche il mio svolgimento.

(a-b) In un punto di flesso:

a) una funzione f (x) deve essere derivabile.

b) orizzontale le derivate prima e seconda si annullano sempre.

c) Se le derivate prima e seconda si annullano in un punto x0 di una funzione, allora x0 è un punto di flesso orizzontale.

d) Se f'' (x0) = 0, allora si ha un flesso obliquo.

e) In un flesso verticale la derivata prima non esiste.

f) Per determinare i flessi obliqui di una funzione f (x) basta trovare le soluzioni dell'equazione f'' (x) = 0.

g) La cubica y = ax^3 + bx^2 - cx + d con a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0, ammette sempre un punto di flesso.

Svolgimento: a-F, b-F, c-V, d-V, e-F, f-V, g-V
 
 

Vero o falso su flessi e derivata seconda #37807

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao luigi rovatti.

a) E' falsa, un punto di flesso a tangente verticale è un punto di non derivabilità per la funzione.

b) Vero. Un punto di flesso orizzontale è un punto stazionario, quindi annulla sia la derivata prima che la seconda

c) Falso. Considera la funzione f(x)= x^4

La derivata prima è f'(x)= 4x^3, la derivata seconda

f''(x)=12x^2

entrambe si annullano in zero, ma x=0 è un punto di minimo e non un punto di flesso.

d)

Falso, vedi la funzione precedente.

e) Vero.

f) Falso, non basta, è necessario studiare anche il segno della derivata seconda e controllare che esiste un intorno del punto che soddisfa l'equazione in cui la derivata seconda cambia di segno.


g) Vero. La derivata seconda della funzione è:

f''(x)=6a x+2 b

Essa si annulla per x=-\frac{b}{3a}, inoltre abbiamo una variazione di segno, quindi l'esistenza del punto di flesso è assicurato.

[Edit]: Avevo dimenticato di rispondere alla domanda g, fortunatamente Pi greco, mi ha avvertito emt
Ringraziano: Omega, luigi rovatti
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Os