Vero o falso su massimi e minimi, punti angolosi e flessi

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Vero o falso su massimi e minimi, punti angolosi e flessi #37739

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, in questo esercizio ho una serie di vero o falso sui massimi e minimi di funzioni e sui flessi, e devo risolvere degli esercizi a risposta multipla con cinque opzioni di risposta. Riporto anche il mio svolgimento.

Affermazioni vero o falso:

a) Se f' (x0) = 0, allora f (x) ha in x0 un punto di massimo o di minimo relativo.

b) In un punto di massimo o di minimo relativo la funzione deve essere derivabile con derivata prima uguale a 0.

c) Una funzione non derivabile in un punto x0 non può avere un massimo o un minimo relativo nel punto.

d) Una funzione con una cuspide in x0 non ha massimo o minimo in x0.

e) In un punto angoloso x0 la funzione non può mai avere massimo o minimo.

f) Se la derivata prima di una funzione esiste e non si annulla mai in un intervallo, la funzione non ha massimi o minimi relativo nell'intervallo.

g) In un punto x0 di flesso orizzontale di una funzione f (x) si ha f' (x0) = 0.

h) Se f' (x0) = 0, allora f (x) nel punto x0 ha un flesso orizzontale.

i) Se in un intorno completo del punto x0 si hanno f' (x) > 0 e f' (x0) = 0, allora x0 è un punto di flesso orizzontale.

Svolgimento: a-V, b-V, c-V, d-F, e-F, f-V, g-F, h-V, i-V

Esercizio a risposta multipla

Se f (x) è una funzione derivabile quante volte si vuole, quali condizioni devono essere verificate affinché la funzione f' (X) abbia un minimo relativo in x = x0?

a) f' (x0) = 0 e f'' (x0) > 0

b) f'' (x0) = 0 e f''' (x0) > 0

c) f'' (x0) = 0 e f''' (x0) ≤ 0

d) f'' (x0) > 0 e f''' (x0) ≠ 0

e) f' (x0) ≠ 0 e f'' (x0) = 0

Svolgimento: b.
Ringraziano: Brigitta
 
 

Vero o falso su massimi e minimi, punti angolosi e flessi #37745

avt
Foxreaver
Cerchio
Mi limito a correggere il tuo svolgimento:

a) falsa in quanto nel punto x_0 può trovarsi anche un flesso (f(x)=x^3 ha derivata nulla in 0).
b) falsa, la condizione di Cauchy indica che se è derivabile in un punto di minimo o di massimo in quel punto avrà derivata nulla ma in un punto di minimo o di massimo può anche accadere che non vi sia derivabilità (f(x)=|x| non è derivabile in 0 ma presenta lì un minimo)
c) falsa per quel che ho scritto sopra.
g) vera.
h) falsa, può avere anche minimo o massimo relativo.

L'esercizio a risposta multipla è corretto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, luigi rovatti

Vero o falso su massimi e minimi, punti angolosi e flessi #37746

avt
luigi rovatti
Cerchio
Grazie mille, mi hai aiutato parecchio!!! emt

Vero o falso su massimi e minimi, punti angolosi e flessi #37750

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Luigi,
la prossima volta ti consiglio di giustificare sempre le tue risposte perché i problemi a risposta multipla in matematica possono contenere molti trabocchetti...cerchiamo di giustificare insieme le varie risposte citando un teorema (senza dimostrazione) o con un controesempio.
a) La funzione f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto x|x| ha derivata prima nulla se x=0 ma (0,f(0)) non è un punto di massimo. Quindi l'asserto è falso
b) La funzione f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto |x| ha un punto di minimo se x=0, ma non è derivabile (perchè non è derivabile se x=0) dunque l'asserto è falso
c) Ancora la funzione f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} x \mapsto |x| nega l'asserto, che è quindi falso
d) La funzione f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto \sqrt[3]{x^{2}} (che è diverso da x^{\frac{2}{3}}!) ha una cuspide se x=0 ed è anche il suo punto di minimo
e) Ancora la funzione f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto |x| nega l'asserto perchè f ha un punto angoloso se x=0, che è quindi falso
f) Se l'intervallo è aperto l'asserto è vero perchè la funzione è monotona crescente o monotona decrescente (è un corollario del teorema di Lagrange), mentre se è chiuso (anche in un solo estremo) non è vero, basta che prendi f\colon \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto x dunque l'asserto è falso
g) E' vero per la definizione di flesso orizzontale
h) Se prendiamo la funzione identica f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad x \mapsto x^{2} essa ha derivata nulla se x=0, ma f è convessa quindi l'asserto è falso
i) è vero per la definizione di punto di flesso

Nell'asserto a risposta multipla è necessario per il teorema di Fermat che f'(x_{0})=0, e questo esclude la d) e la e) inoltre per avere un minimo esiste un intorno di x_{0} in cui la derivata seconda è positiva se x \neq x_{0} quindi la risposta giusta è la b

Se hai dei dubbi mi fai sapere?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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