Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale

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Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale #37714

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, in questo esercizio devo verificare se le seguenti affermazioni sulle derivate e sui teoremi del calcolo differenziale sono vere o false. Riporto anche il mio svolgimento.

(a-f) Se:

a) per una funzione y = f (x) si ha che f' (1) = 0, allora la tangente in c = 1 è parallela all'asse x.

b) Una funzione ha una cuspide rivolta verso l'alto in x_0, allora f'(x0) = +∞, oppure f'+(x0) = -∞.

c) Una funzione, nel punto x0, è tale che f'(x0) = -∞, allora presenta in x0 un flesso a tangente verticale.

d) Una funzione y=f(x) non è derivabile in un punto x0 allora non esiste la tangente alla funzione in x0.

e) Nel punto x0 esiste una sola retta tangente, allora la funzione è derivabile in x0.

f) una funzione f(x) è derivabile in un intervallo [a,b], allora esiste f'(c) per ogni c ∈ ]a; b[ e f(x) non può essere derivabile in uno degli estremi a e b.

g) Una funzione derivabile in [a,b] è sempre continua in [a,b] e viceversa.

(h-m) Se:

h) una funzione f (x) continua e derivabile in ℝ è tale che f(0)=f'(0)=0, allora presenta nell'origine un punto a tangente orizzontale.

i) In un punto c il grafico di una funzione f(x) ha per tangente una retta parallela all'asse x, allora f'(c)=0.

j) Esistono f'+(c) e f'(c), allora f (x) è sempre derivabile nel punto c.

k) f'+(c)=+∞, allora f(x) non è derivabile nel punto c.

l) f'+(c)≠f'(c), allora f (x) non è derivabile in c e nel punto c si hanno due tangenti distinte.

m) In un punto c il grafico di una funzione f(x) ha una tangente parallela all'asse y, allora la funzione è derivabile in c.

Svolgimento: a-V, b-V, c-F, d-V, e-V, f-V, g-F, h-V, i-F, j-F, k-F, l-V, m-F.
 
 

Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale #37718

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao luigi! emt

a) Vero.

b) Vero.

c) Vero.

d) Falso, non è unica, non che non esiste.

e) vero.

f) Falso. La derivata esiste anche agli estremi, nel senso che esistono finiti i limiti:

\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}


g) Falso, non vale il viceversa, esistono funzioni continue in [a,b] ma non derivabili.

h) cos'è un punto a tangenza orizzontale?

i) Vero,

j) Falso, f_{-}'(c)\mbox{ e } f_{+}'(c) devono coincidere.

k) Vero, il limite del rapporto incrementale deve esistere finito.

l) Falso, è possibile che la derivata destra o sinistra non sia finita.

m) Falso.

Questi test sono scritti malissimo, se posso permettermi. Mancano molte ipotesi :\
Ringraziano: Omega, Pi Greco, luigi rovatti

Re: Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale #37721

avt
luigi rovatti
Cerchio
Grazie per le risposte, gentilissimo!

Comunque, non riesco a credere di essere cascato sull'affermazione h)! Credo sia falsa, perché, come mi hai giustamente fatto notare tu, un punto a tangente orizzontale non esiste proprio. L'affermazione era stata scritta proprio per depistare l'attenzione su cose scritte "all'improprio", diciamo così. emt

Re: Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale #37722

avt
Ifrit
Amministratore
No, aspetta, io ho chiesto chiarimenti emt, non so cos'è un punto a tangenza orizzontale, forse intende un punto per il quale la tangente al grafico è orizzontale?

Se è così allora è vera.

Re: Domande vero-falso su derivate e teoremi del calcolo differenziale #37723

avt
luigi rovatti
Cerchio
No, è proprio un'affermazione scritta apposta per depistare, non significa nulla.
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Os