Studio di una funzione fratta con modulo a numeratore

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Studio di una funzione fratta con modulo a numeratore #37666

avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti, ho avuto un problema con uno studio di una funzione fratta con un valore assoluto a numeratore, di cui devo tracciare anche il grafico su un piano ortogonale xOy. Ecco il testo (grazie in anticipo a coloro che mi risponderanno):

Studiare le variazioni della funzione di equazione

y=\frac{|2x+1|}{x-1}

e tracciarne il grafico.

Grazie mille!
 
 

Studio di una funzione fratta con modulo a numeratore #37697

avt
Ifrit
Amministratore
Iniziamo a determinare il dominio. La funzione è fratta pertanto dobbiamo pretendere che il denominatore sia diverso da zero, ossia

x-1\ne 0 \iff x\ne 1

Il dominio della funzione è quindi:

\mbox{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\ne 1\}=(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)

Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto allo 0 di conseguenza la funzione non può essere né pari né dispari.

Intersezione con gli assi: per determinare le intersezioni con l'asse delle ascisse dobbiamo risolvere il sistema

\begin{cases}y=\frac{|2x+1|}{x-1}\\ y=0\end{cases}

da cui otteniamo l'equazione:

\frac{|2x+1|}{x-1}=0\iff |2x+1|=0\iff

Ricordiamo che un valore assoluto è negativo nel momento in cui l'argomento è nullo, pertanto

2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}

Il punto di intersezione con l'asse x è \left(-\frac{1}{2}, 0\right)

Calcoliamo il punto di intersezione con l'asse delle ordinate valutando la funzione nel punto x=0

f(0)= \frac{1}{-1}=-1

Il punto di intersezione è quindi \left(0,-1\right)

Segno della funzione: impostiamo la disequazione

f(x)\ge 0\to \frac{|2x+1|}{(x-1)}\ge 0

ed osserviamo che poiché il numeratore è sempre non negativo, il segno di f(x) dipende esclusivamente dal denominatore.

x-1>0\iff x>1

Possiamo concludere che f(x) è positiva se x>1 mentre è negativa se x<1.

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio mediante l'algebra degli infinitesimi, partendo dal limite destro per x\to 1

\lim_{x\to 1^+}\frac{|2x+1|}{x-1}=\left[\frac{3}{0^+}\right]=+\infty

Bene, ora possiamo calcolare il limite sinistro per x\to 1^{-}

\lim_{x\to 1^-}\frac{|2x+1|}{x-1}=\left[\frac{3}{0^-}\right]=-\infty

Dai risultati dei due limiti si evince che x=1 è l'equazione di un asintoto verticale.

Procediamo con il limite per x\to -\infty

\lim_{x\to -\infty}\frac{|2x+1|}{x-1}=

che grazie alla definizione di valore assoluto diventa

=\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x-1}{x-1}= -2

Poiché il limite è finito f(x) ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione:

y=-2

Procediamo allo stesso modo per x che tende a più infinito, stando attenti a come si comporta il valore assoluto:

\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{|2x+1|}{x-1}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x+1}{x-1}=2

dunque la funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y=2.

La presenza degli asintoti orizzontali assicura che f(x) non possiede asintoti obliqui.

Calcoliamo la derivata prima, applicando la regola di derivazione del equazione in combinazione con il teorema sulla derivata della funzione composta:

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]=\\ \\ \\ = \frac{\frac{|2x+1|}{2x+1}\cdot 2 (x-1)-|2x+1|}{(x-1)^2}=

Mettiamo in evidenza |2x+1|

\\ =|2x+1| \frac{\frac{2(x-1)}{2x+1}-1}{(x-1)^2}=

e scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

\\ = \frac{|2x+1|}{(x-1)^2}\frac{2x-2-2x-1}{2x+1}= \\ \\ \\ = \frac{|2x+1|}{(x-1)^2}\cdot\frac{-3}{2x+1}

Attenzione! Questi passaggi vanno bene per x diverso da -\frac{1}{2}, valore questo che si candida come punto di non derivabilità.

A tutti gli effetti f(x) non è derivabile in x= -\frac{1}{2} infatti impostando il limite del rapporto incrementale nel punto otteniamo quanto segue:

\\ \lim_{h\to 0}\frac{f\left(-\frac{1}{2}+h\right)-f\left(-\frac{1}{2}\right)}{h}=\\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{\left|2\left(-\frac{1}{2}+h\right)+1\right|}{\left(-\frac{1}{2}+h\right)-1}}{h}=\\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{|2h|}{-\frac{3}{2}+h}}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{|2h|}{h}\cdot \frac{1}{h-\frac{3}{2}}

Siamo costretti a considerare il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale per via del valore assoluto. Il limite sinistro del rapporto incrementale è

\lim_{h\to 0^+}\frac{2h}{h}\cdot \frac{1}{h-\frac{3}{2}}= \frac{4}{3}

Nota: poiché h\to 0 per valori positivi allora |2h|=2h. Quando h\to 0 per valori negativi invece si ha che |2h|=-2h e pertanto il limite destro del rapporto incrementale è

\lim_{h\to 0^-}\frac{-2h}{h}\cdot \frac{1}{h-\frac{3}{2}}= -\frac{4}{3}

Poiché i due limiti sono finiti e diversi allora il punto x=-\frac{1}{2} è un punto angoloso rivolto verso l'alto.

Osserva che la derivata prima non si annulla mai, dobbiamo studiare ora il segno della derivata prima per determinare gli intervalli di monotonia:

f'(x)>0\iff  \frac{|2x+1|}{(x-1)^2}\cdot\frac{-3}{2x+1}>0

Il segno dipende esclusivamente dal fattore

\frac{-3}{2x+1}>0\iff \frac{3}{2x+1}<0

Il numeratore è sempre positivo, il denominatore invece è positivo se

2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}

Concludiamo che la derivata prima è positiva per x<-\frac{1}{2} mentre è negativa x>-\frac{1}{2}.

La funzione f(x) è quindi strettamente crescente nell'intervallo \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right), mentre è decrescente nell'intervallo \left(-\frac{1}{2},1\infty\right) e nell'intervallo (1, +\infty).

Osserviamo che x=-\frac{1}{2}, oltre ad essere un punto di non derivabilità, è anche un punto di massimo relativo, ed il massimo associato è

f\left(-\frac{1}{2}\right)=0.

Le informazioni che abbiamo sono sufficienti per disegnare il grafico a meno di concavità e convessità

graficofunzione_2012 11 02


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Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, CarFaby
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