Funzione goniometrica con parametri a e b, esercizio completo

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Funzione goniometrica con parametri a e b, esercizio completo #37537

avt
drago95
Cerchio
Ho un problema con una funzione goniometrica dipendente da due parametri che non riesco a risolvere.

Considera la funzione

f(x)=a\cos{\left(x\right)}+b\sin{\left(x\right)}

a) Determina i coefficienti a e b in modo che il grafico passi per i punti P\left(\frac{\pi}{6};1\right) e Q\left(-\frac{\pi}{6};2\right).

b) Trasforma la funzione nella forma

f(x)=A\cos{\left(x+\alpha  \right)}

e determina i punti di minimo e di massimo.

c) Trova l'espressione analitica della funzione g(x)=f(-x) e disegna i grafici delle due funzioni nel medesimo riferimento.

d) Verifica che g(x) si può ottenere da f(x) mediante una traslazione.

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Funzione goniometrica con parametri a e b, esercizio completo #37538

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95,

vediamo come procedere. Abbiamo la funzione:

f(x)= a\cos(x)+b\sin(x)

Dobbiamo imporre il passaggio per i punti P e Q:

\begin{cases}f\left(\frac{\pi}{6}\right)=1\\f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\end{cases}

Ora:

\\ f\left(\frac{\pi}{6}\right)= a\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+b\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\\ \\ \\=\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{b}{2}

mentre:

f\left(-\frac{\pi}{6}\right)= a\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+b\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)

Ricorda che la funzione seno è una funzione dispari, mentre la funzione coseno è una funzione pari pertanto:

\\ \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)= \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \\ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)= -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}

Il sistema diventa quindi:

\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}A+\frac{1}{2}B=1\\ \frac{\sqrt{3}}{2}A-\frac{1}{2}B=2\end{cases}

Da cui

\\ a=\sqrt{3},\ b=-1\\ \\ \\ f(x)= \sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)

Adesso il nostro scopo diventa quello di scrivere la funzione nella forma:

f(x)= A\cos\left(x+\alpha\right)

Utilizzeremo l'angolo ausiliario, osserva che la funzione è nella forma:

f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)

calcoliamo la quantità \sqrt{a^2+b^2} che nel nostro caso diventa:

\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2

Moltiplichiamo e dividiamo per due la funzione:

f(x)= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)-\frac{1}{2}\sin(x)\right)

Determiniamo l'angolo \phi tale che:

\\ \cos(\phi)=-\frac{1}{2}\\ \\ \\ \sin(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2}

da cui

\phi= \frac{2}{3}\pi

La funzione si esprime quindi come:

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)

Ora noi sappiamo che:

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(x)

quindi:

\\ f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\\ \\ \\ =2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

Ok, allora possiamo continuare: la funzione

g(x)= f(-x)=2\cos\left(-x+\frac{\pi}{6}\right)

il cui grafico è:

senocoseno_2012 11 01

Il grafico della funzione f(x) è invece:

senocoseno2_2012 11 01

li puoi ottenere tramite lo studio di funzione.

Già dal grafico è chiaro che le due funzioni sono l'una la traslata dell'altra. In particolare, fissiamo un x ad esempio x=0, e determiniamo k tale che:

f(0)= f(k)\iff k=\frac{\pi}{3}

Dunque:

f\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=f(-x)=g(x)\quad\forall x\in \mathbb{R}
Ringraziano: Omega, LittleMar, drago95
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