Studio delle proprietà di due funzioni reali, esercizio

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Studio delle proprietà di due funzioni reali, esercizio #37517

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao,

in questo esercizio devo studiare diverse proprietà di due funzioni con radice quadrata: devo verificare il dominio, il codominio, il segno, se è una funzione pari o dispari e se ammette inversa di \sqrt{x} e \sqrt{|x|}.

Mi aiutate? Grazie mille.
 
 

Studio delle proprietà di due funzioni reali, esercizio #37528

avt
Bruno
Punto
Ciao emt

1)
f(x)= \sqrt{x}

Dominio: R_o^+, (cioè x \geq 0).
(per l'esistenza della radice ad indice pari)

Segno: la funzione non è mai negativa nel suo dominio, ed è nulla per x = 0, dato che il valore di una radice ad indice pari non può essere negativo.

Per quanto appena detto:
Codominio: R_o^+

Pari o dispari: non ha senso porsi il quesito, dato che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine (condizione indispensabile affinché possa essere f(-x) = f(x) oppure f(-x) = -f(x) per ogni x del dominio)

Funzione inversa: esiste se la f(x) (che è R_o^+ -> R_o^+) è biettiva.

Iniettività:
alla:
\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}
segue, quadrando membro a membro:
x_1=x_2
e quindi la funzione è iniettiva.

Suriettività:
alla:
y=\sqrt{x}
segue, esplicitando la x e tendo conto che il codominio è:R_o^+:
x=y^2
senza condizione alcuna e quindi f(x) è suriettiva.

La funzione è dunque biettiva e pertanto invertibile, per cui:
f^{-1}(x) = x^2
è la funzione inversa.

2)
f(x)=\sqrt{|x|}

Dominio: R.

Segno: la funzione non è mai negativa nel suo dominio, ed è nulla per x = 0, dato che il valore di una radice ad indice pari non può essere negativo.

Per quanto appena detto:
Codominio: R_o^+

Pari o dispari:
Questa volta il dominio è simmetrico rispetto all'origine.
f(-x)=\sqrt{|-x|}=\sqrt{|x|}=f(x), per ogni x del dominio;
pertanto la funzione è pari.

Riguardo all'esistenza o meno della funzione inversa: quando una funzione è pari non è certo iniettiva, dato che esiste almeno una coppia di numeri diversi (x;-x) per i quali f(-x)=f(x). La funzione non è dunque biettiva.
Quindi la funzione data non è invertibile.

Chiedi se qualcosa non è chiaro.
Ciao emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, luigi rovatti

Studio delle proprietà di due funzioni reali, esercizio #37529

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao luigi rovatti, ti invito a leggere la lezione su come invertire una funzione

Cominciamo con la funzione:

f(x)=\sqrt{x}

Il dominio è ovviamente

\mbox{dom}(f)= [0, +\infty)

L'immagine è invece:

\mbox{Im}(f)=[0, +\infty)

Sappiamo che la funzione radice quadrata di x è ]]monotona crescente, quindi invertibile.

La funzione inversa avrà per dominio l'immagine della funzione f e per immagine il dominio della funzione f. Determiniamo esplicitamente l'inversa, risolvendo l'equazione:

y=\sqrt{x}

rispetto ad x:

x=y^2

invertiamo x con y e viceversa, avremo che:

f^{-1}(x)= x^2

Il suo dominio è [0,+\infty), il codominio è [0,+\infty).

Ora consideriamo l'altra funzione:

f(x)= \sqrt{|x|}

Il dominio della funzione è \mbox{dom}(f)=\mathbb{R}. In questo caso la funzione non è ]]iniettiva

Vediamo perché:

f(x)=f(y)\iff \sqrt{|x|}=\sqrt{|y|}

eleviamo al quadrato membro a membro:

|x|=|y|\iff x=\pm y

Non abbiamo l'iniettività quindi la funzione non è invertibile globalmente.


Entrambe le funzioni sono non negative.

La funzione f(x)=\sqrt{x} non è né pari né dispari, il dominio della funzione non è simmetrico rispetto allo 0.


La funzione f(x)=\sqrt{|x|} è pari:

f(-x)=\sqrt{|-x|}= \sqrt{|x|}= f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.


Spero d'aver risposto alle tue domande. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, luigi rovatti

Studio delle proprietà di due funzioni reali, esercizio #37531

avt
Ifrit
Amministratore
emt emt emt Scusami bruno, non avevo visto la tua risposta (molto più ordinata della mia emt )
Ringraziano: Omega, Bruno
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Os