Esercizio vero o falso - composizione di funzioni monotòne, biiettive e iniettive

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Esercizio vero o falso - composizione di funzioni monotòne, biiettive e iniettive #37509

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao,

in questo esercizio ho delle domande vero - falso sulla composizione di funzioni e sulle funzioni iniettive e biiettive, mi aiutereste? Riporto anche il mio svolgimento.

a) La composizione di due funzioni iniettive è ancora una funzione iniettiva.

b) Una funzione monotòna è sempre biiettiva.

c) Una funzione biiettiva è sempre monotòna.

Svolgimento: a-F, b-V, c-F
 
 

Esercizio vero o falso - composizione di funzioni monotòne, biiettive e iniettive #37515

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao luigi rovatti! emt

La composizione di funzioni iniettive è ancora una funzione iniettiva, Vero.

Proviamo a dimostrarlo:

Supponiamo d'avere due funzioni

g:A\longrightarrow B

e

f:B\longrightarrow C

entrambe iniettive

allora anche la funzione:

f\circ g: A\longrightarrow C

è iniettiva.

Dimostrazione:



Supponiamo per assurdo che la funzione f\circ g non è iniettiva, allora esistono x_1, x_2\in A con x_1\ne x_2 tale che:

f(g(x_1))=f(g(x_2))


Poiché g è iniettiva per ipotesi allora g(x_1)\ne g(x_2), per l'iniettività di f segue che:

f(g(x_1))\ne f(g(x_2))

Assurdo, nato dall'aver supposto che la funzione composta non è iniettiva.


Una funzione monotona è sempre iniettiva: Vero.

Una funzione biettiva è sempre monotona: falso. Sarebbe opportuno che tu riuscissi a determinare un controesempio.


PS: Bentornato! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, luigi rovatti
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Os