Problema con funzione definita a tratti, secante e arcoseno

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Problema con funzione definita a tratti, secante e arcoseno #37228

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema sulle funzioni trigonometriche (secante, arcoseno) che non so come risolvere, riguarda una funzione definita a tratti.

Eccolo...

Rappresenta graficamente la funzione:

f(x) = arcsen|x| se x<=0

f(x) = |secx|+3 se x>0

Determina il suo campo di esistenza e il suo codominio.

Indica l'insieme più ampio in cui la funzione è invertibile, determina l'espressione algebrica di f^{-1} e rappresentala graficamente.

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Problema con funzione definita a tratti, secante e arcoseno #37240

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago95 emt

Abbiamo la funzione:

f(x)= \begin{cases}\arcsin|x|&\mbox{ se }x\le 0\\ |\sec(x)|+3&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Osserva che se x\le 0 allora \arcsin|x|= \arcsin(-x)

e ricordando che la funzione arcoseno è dispari allora:

\arcsin(-x)=-\arcsin(x)

quindi la funzione si riscrive come:

f(x)= \begin{cases}-\arcsin(x)&\mbox{ se }x\le 0\\ |\sec(x)|+3&\mbox{ se }x>0\end{cases}


Possiamo sin da subito disegnare la funzione -arcsin(x) ribaltando il grafico della funzione arcsin(x) rispetto all'asse X e ricordando che il suo dominio è [-1,1]


Ora concentriamoci sul secondo "ramo" della funzione:

f(x)=|\sec(x)|+3\mbox{ se }x>0

Questo ramo ha problemi nei punti x=\frac{\pi}{2}+k\pi

Per disegnare questa parte, devi considerare la funzione elementare sec(x) (di cui si suppone tu conosca il suo grafico). Il valore assoluto fa si che tutte le parti negative della funzione vengano ribaltate simmetricamente rispetto all'asse X.

Globalmente la funzione ha il seguente dominio:

\left[-1,\frac{\pi}{2}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\pi}{2}+(k-1)\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)

Il grafico è:


[attachment=1924]funzionedefinitaatratti.png[/attachment]


Ora per x<= 0 la funzione è monotona decrescente quindi biettiva, ed invertibile, in questo intervallo, la funzione ha immagine:

\left[0,-\arcsin\left(-1\right)\right]= \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

L'inversa si determina così:

y=-\arcsin(x)\iff \arcsin(x)=-y

applichiamo membro a membro la funzione seno:

x= \sin(-y)\quad y\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Ora lavoriamo con l'altro ramo.

Graficamente si vede che

- L'immagine della funzione è [4, +\infty)

-non è iniettiva globalmente, dobbiamo restringerci in un particolare intervallo in cui la funzione possa essere iniettiva Sempre dal grafico è chiaro che la funzione è invertibile nell'insieme \left[0, \frac{\pi}{2}\right). Osserva inoltre che la funzione \sec(x)>0 in [0, \pi/2) quindi il valore assoluto è superfluo

]

In questo intervallo l'inversa si determina in questo modo:

\sec(x)+3=y\iff \sec(x)=y-3\iff \frac{1}{\cos(x)}=y-3

Passiamo ai reciproci membro a membro:

\cos(x)=\frac{1}{y-3}

Applichiamo l'arcocoseno membro a membro:

x= \arccos\left(\frac{1}{y-3}\right)\quad y\in [4, +\infty)


La funzione inversa è quindi:

f^{-1}(x)=\begin{cases}\sin(-x)&\mbox{ se }0\le x\le \frac{\pi}{2} \\ \arccos\left(\frac{1}{x-3}\right)&\mbox{ se }x\ge 4\end{cases}


Il grafico della funzione inversa è:


[attachment=1925]funzioneinversa_2012-10-29.png[/attachment]


Ti consiglio di leggere le lezioni sul grafico intuitivo delle funzioni
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os