Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y #37214

avt
kikkax
Punto
Ciao, devo studiare il grafico di questa funzione di due variabili in x e y e avrei bisogno di un aiuto per favore.

Trovare il massimo e il minimo della seguente funzione in x e y. Se non chiedo troppo, potreste spiegarmi come fare il grafico?

z = x^2+y^2-5x-2y

Grazie!
 
 

Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y #37227

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kikkax emt

Possiamo procedere in due modi, uno molto furbo (ma meno meccanico), l'altro consiste nell'utilizzare il metodo per lo studio dei massimi e minimi in due variabili.


Cominciamo con il metodo furbo:

f(x,y) = x^2+y^2-5x-2y

proviamo a completare i quadrati:

f(x,y) = x^2-5x+((5)/(2))^2-((5)/(2))^2+y^2-2y+1-1 =

(x-(5)/(2))^2+(y-1)^2-(29)/(4)

Abbiamo ottenuto l'equazione di un paraboloide (traslato) con punto di minimo

P((5)/(2),1)

Il minimo vale m = -(29)/(4), non ha massimo assoluto.


Vediamo ora con il metodo classico:

f(x,y) = x^2+y^2-5 x-2y

calcoliamo le derivate parziali prime:

f_x(x,y) = 2x-5

f_(y)(x,y) = 2 y-2

Impostiamo il sistema per il calcolo dei punti stazionari

f_(x)(x,y) = 0 ; f_(y)(x,y) = 0 ⇔ 2x-5 = 0 ; 2y-2 = 0

La cui unica soluzione è

x = (5)/(2)

y = 1

Il punto si candida come punto estremante.

Calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine, in modo da poter scrivere la matrice hessiana

f_(x x)(x,y) = 2

f_(y,y)(x,y) = 2

f_(x,y)(x,y) = f_(y,x)(x,y) = 0

La matrice Hessiana è:

H_(f) = [ 2 0 ; 0 2 ]

il cui determinante è 4. Il punto considerato è di minimo relativo. Non abbiamo punti di massimo perché la funzione non è superiormente limitata.

Il grafico è un paraboloide quindi una cosa del genere:

paraboloide
Ringraziano: Omega, CarFaby

Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y #37229

avt
Ifrit
Amministratore
Kikkax, ho notato solo ora che sei alle superiori, probabilmente il secondo metodo non lo hai mai visto :\ per caso l'esercizio doveva essere svolto con le curve di livello?

Chiedo perché negli istituti professionali (ragioneria ad esempio) il metodo dell'Hessiano si fa più in là emt Fammi sapere ok?
Ringraziano: Omega

Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y #37230

avt
kikkax
Punto
nessun problema =) si infatti faccio ragioneria e per il momento si sta facendo solo con il metodo delle linee di livello..

Studio del grafico, massimi e minimi funzione in x e y #37245

avt
Ifrit
Amministratore
Allora, il metodo da utilizzare è il primo: una volta arrivata alla equazione:

z = (x-(5)/(2))^2+(y-1)^2-(29)/(4)

devi comprendere che tipo di equazione rappresenta al variare di z. Conviene scriverla in questo modo:

(x-(5)/(2))^2+(y-1)^2 = z+(29)/(4)

questa è l'equazione della circonferenza di centro ((5)/(2),1) e raggio r = √(z+(29)/(4))

Dobbiamo richiedere che il raggio sia "reale" e in tal caso imporremo che:

z+(29)/(4) ≥ 0 ⇔ z ≥ -(29)/(4)

Fissato z = z_0 ≥ -(29)/(4) otterremo tante circonferenze concentriche, varia solo il raggio. All'aumentare del raggio le circonferenze si allontanano dal centro, quindi il centro è punto di minimo, e il minimo vale -(29)/(4)

circonferenzaconcentrica


Non abbiamo massimo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os