Esercizio di verifica di un limite con la definizione

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Esercizio di verifica di un limite con la definizione #37093

avt
Dreams79
Cerchio
In primis buona domenica pomeriggio, eh si anche di domenica vengo a beep le scatole -.- questa volta con un esercizio sulla verifica di un limite con la definizione.

Stavo svolgendo un paio di esercizi, appunto, sulla verifica di limiti applicando la definizione, ma non riesco a risolvere questo limite.

Vi posto l'esercizio (vogliate scusarmi per il non utilizzo di LaTeX).

\lim_{x\to 0}\frac{2x^2+1}{x+1}=1

Grazie in anticipo e ancora scusa per il continuo disturbo.

Gianluca.
 
 

Esercizio di verifica di un limite con la definizione #37125

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dreams79 emt

La teoria sulla verifica dei limiti mediante la definizione la trovi tra le prime lezioni sui limiti e gli esercizi correlati, in cui vengono proposte le linee guida per risolvere gli esercizi.

Per il resto...ci sono tantissimi esercizi svolti, che puoi reperire attraverso la barra di ricerca. emt

Esauritosi il preambolo, passiamo all'esercizio: per verificare il limite finito al tendere di x ad un valore finito mediante la definizione prendiamo un generico valore \varepsilon, da intendere "piccolo" e positivo, e imponiamo la condizione

|f(x)-l|\leq \varepsilon

ossia

\left|\frac{2x^2+1}{x+1}-1\right|\leq \varepsilon

Riscriviamo la disequazione prima come

\left|\frac{2x^2-x}{x+1}\right|\leq \varepsilon

dopodiché passiamo al sistema equivalente (si tratta di eliminare il modulo)

\begin{cases}\frac{2x^2-x}{x+1}\leq \varepsilon\\ \frac{2x^2-x}{x+1}\geq -\varepsilon\end{cases}

Risolviamo le due disequazioni del sistema - per brevità propongo i passaggi "in contemporanea". Per prima cosa, in entrambe le disequazioni, possiamo moltiplicare entrambi i membri per (x+1): nota che in generale questo passaggio non sarebbe lecito, trattandosi di una disequazione, ma nel nostro caso per verificare il limite dato possiamo supporre x nell'intorno di 0, eventualità nella quale risulta che x+1>0. Passiamo a

\begin{cases}2x^2-x\leq \varepsilon x +\varepsilon\\ 2x^2-x\geq -\varepsilon x -\varepsilon \end{cases}

poi

\begin{cases}2x^2-x- \varepsilon x -\varepsilon\leq 0\\ 2x^2-x +\varepsilon x +\varepsilon \geq 0 \end{cases}

\begin{cases}2x^2-(1+\varepsilon)x -\varepsilon\leq 0\\ 2x^2-(1 -\varepsilon) x +\varepsilon \geq 0 \end{cases}

A questo punto possiamo risolvere le due disequazioni di secondo grado con il metodo standard. Risolvendo le equazioni quadratiche associate e tenendo conto del verso dei simboli di disequazione, otteniamo

\begin{cases}\frac{1+\varepsilon-\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\leq x\leq \frac{1+\varepsilon+\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\\ x\leq \frac{1-\varepsilon-\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\vee x\geq \frac{1-\varepsilon+\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4} \end{cases}

Ora viene il bello: per verificare il limite noi vogliamo una doppia disuguaglianza del tipo

0-\delta \leq x\leq 0+\delta

eventualmente andrebbe bene anche

0-\delta_1\leq x\leq 0+\delta_2

con \delta_1,\delta_2 dipendenti da \varepsilon, purché "piccoli". In tal caso basterebbe infatti chiamare

\delta:=\mbox{Min}\{\delta_1,\delta_2\}

e avremmo automaticamente la verifica del limite per

0-\delta \leq x\leq 0+\delta .

Riprendendo il precedente sistema

\begin{cases}\frac{1+\varepsilon-\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\leq x\leq \frac{1+\varepsilon+\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\\ x\leq \frac{1-\varepsilon-\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\vee x\geq \frac{1-\varepsilon+\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4} \end{cases}

dobbiamo limitarci a considerare

\begin{cases}\frac{1+\varepsilon-\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\leq x\\ x\leq \frac{1-\varepsilon-\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\end{cases}

infatti le due disequazioni che abbiamo eliminato ci dicono, approssimativamente, che

x\leq 2\pm \mbox{qualcosa}

x\geq 2\pm \mbox{qualcosa}

e non ci servono. D'altra parte, quelle che sopravvivono

\begin{cases}\frac{1+\varepsilon-\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\leq x\\ x\leq \frac{1-\varepsilon-\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}\end{cases}

forniscono valori di controllo nell'intorno destro di zero (molto "piccoli"!) e ci portano ad una doppia disequazione della forma

\frac{1+\varepsilon-\sqrt{1+10\varepsilon+\varepsilon^2}}{4} \leq x\leq \frac{1-\varepsilon-\sqrt{1+6\varepsilon+\varepsilon^2}}{4}

prendendo il massimo tra i due estremi (anche senza sapere quale sia di preciso) abbiamo raggiunto lo scopo: il limite è verificato. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Dreams79

Re: Esercizio di verifica di un limite con la definizione #37138

avt
Dreams79
Cerchio
Grazie mille; come sempre mi aiuti in ogni cosa ^_^

Fino alla scrittura del sistema c'ero pure io così come nella risoluzione delle due disequazioni, ma andare avanti non riuscivo proprio ^_^

Grazie ancora.

Gianluca.
Ringraziano: Omega
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Os