Esercizio sul calcolo della funzione inversa

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Esercizio sul calcolo della funzione inversa #37024

avt
scaproz
Punto
Salve ragazzi, vi scrivo perché ho un problema con il calcolo della funzione inversa. Il problema è che ho una x al denominatore e non so come comportarmi.

Calcolare la funzione inversa di

f(x)=\frac{4}{x+2}

Grazie mille!
 
 

Esercizio sul calcolo della funzione inversa #37027

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Scaproz,

per trovare la funzione inversa di

f(x)=\frac{4}{x+2}

è sufficiente considerare la relazione

y=f(x)

ed esplicitare la x in funzione della variabile y, dopodiché è necessario scambiare il ruolo delle variabili.

Nel nostro caso, la relazione diventa:

y=\frac{4}{x+2}

Moltiplichiamo per x+2 i due membri

y(x+2)=4

e per y\ne 0, dividiamo per y così da ricavare

x+2=\frac{4}{y}

Isoliamo x al primo membro

x=\frac{4}{y}-2

e scambiamo i ruoli delle variabili

y=\frac{4}{x}-2

L'ultima uguaglianza rappresenta l'espressione della funzione inversa di f(x), scriviamo dunque

f^{-1}(x)=\frac{4}{x}-2=\frac{4-2x}{x}

È necessario però specificare il dominio e il codominio delle funzioni da trattare.

Abbiamo moltiplicato per x-2, ma se x fosse uguale a 2 questo non si può fare. C'è anche un altro problema, f(x) non è funzione suriettiva da \mathbb{R} - \{-2\} a \mathbb{R} perché lo 0 non è immagine di nessun valore.

Tuttavia f(x) è una funzione iniettiva, infatti è facile mostrare che comunque si fissino x_1, \ x_2\in Dom(f), l'equazione f(x_1)=f(x_2) è soddisfatta univocamente in x_1=x_2.

Osserviamo infatti che f(x_1)=f(x_2) nel caso considerato diventa

\frac{4}{x_{1}+2}=\frac{4}{x_{2}+2}

Passiamo ai reciproci

\frac{x_1+2}{4}=\frac{x_2+2}{4}

moltiplichiamo i due membri per 4

x_1+2=x_2+2

e eliminando 2 ai due membri ricaviamo

x_1=x_2

Con questi semplici passaggi algebrici abbiamo mostrato l'iniettività di f(x).

Se togliamo lo 0 dal codominio la funzione, essa diventa suriettiva e quindi risulta una funzione invertibile. In parole povere, abbiamo ristretto il codominio all'immagine della funzione rendendola suriettiva.

Riassumendo, se la funzione è definita da \mathbb{R} - \{-2\} a \mathbb{R} - \{0\}, la sua inversa è la funzione

f^{-1} \colon \mathbb{R} - \{0\} \rightarrow \mathbb{R}-\{-2\}

definita mediante l'espressione analitica

f^{-1}(x)=\frac{4-2x}{x}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, scaproz, marsi

Esercizio sul calcolo della funzione inversa #37033

avt
scaproz
Punto
Grazie davvero, sei stato davvero esauriente!
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Os