Esercizio sul calcolo della funzione inversa
Salve ragazzi, vi scrivo perché ho un problema con il calcolo della funzione inversa. Il problema è che ho una x al denominatore e non so come comportarmi.
Calcolare la funzione inversa di
Grazie mille!
Ciao Scaproz,
per trovare la funzione inversa di
è sufficiente considerare la relazione
ed esplicitare la 
in funzione della variabile 
, dopodiché è necessario scambiare il ruolo delle variabili.
Nel nostro caso, la relazione diventa:
Moltiplichiamo per 
i due membri
e per 
, dividiamo per così da ricavare
Isoliamo al primo membro
e scambiamo i ruoli delle variabili
L'ultima uguaglianza rappresenta l'espressione della funzione inversa di 
, scriviamo dunque
È necessario però specificare il dominio e il codominio delle funzioni da trattare.
Abbiamo moltiplicato per 
, ma se fosse uguale a 
questo non si può fare. C'è anche un altro problema, non è funzione suriettiva da 
a 
perché lo 0 non è immagine di nessun valore.
Tuttavia è una funzione iniettiva, infatti è facile mostrare che comunque si fissino 
, l'equazione 
è soddisfatta univocamente in 
.
Osserviamo infatti che nel caso considerato diventa
Passiamo ai reciproci
moltiplichiamo i due membri per 4
e eliminando 2 ai due membri ricaviamo
Con questi semplici passaggi algebrici abbiamo mostrato l'iniettività di .
Se togliamo lo 
dal codominio la funzione, essa diventa suriettiva e quindi risulta una funzione invertibile. In parole povere, abbiamo ristretto il codominio all'immagine della funzione rendendola suriettiva.
Riassumendo, se la funzione è definita da a 
, la sua inversa è la funzione
definita mediante l'espressione analitica
Ecco fatto!
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