Dominio, codominio, simmetria, intersezione assi di una funzione

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Dominio, codominio, simmetria, intersezione assi di una funzione #36284

avt
ACAB
Punto
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto nello studio di alcune proprietà di una funzione: dominio, codominio, simmetrie e intersezioni con gli assi.

Posto la funzione che non riesco a risolvere

y = tan(x) / [ sin(x) - 1 ]

Grazie mille...
 
 

Dominio, codominio, simmetria, intersezione assi di una funzione #36287

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao ACAB, ok, va meglio emt

Una sola domanda, la funzione è:

f(x)= \frac{\tan(x)}{\sin(x)-1}

Giusto? emt
Ringraziano: Omega

Dominio, codominio, simmetria, intersezione assi di una funzione #36291

avt
ACAB
Punto
certo...

Dominio, codominio, simmetria, intersezione assi di una funzione #36302

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, iniziamo con il dominio:

f(x)=\frac{\tan(x)}{\sin(x)-1}

Il dominio è dettato da due condizioni, esistenza della tangente, esistenza della frazione. La tangente esiste quando x=\frac{\pi}{2}+k\pi.

Dobbiamo richiedere che \sin(x)-1\ne 0 e questo avviene quando:

x\ne \frac{\pi}{2}+2k\pi dove k è un numero intero qualsiasi.

in definitiva il dominio della funzione è:

D_{f}:=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}

La funzione è periodica di periodo 2Pi, infatti, tan(x) ha periodo \pi mentre \sin(x)-1 ha periodo 2\pi,

possiamo quindi limitarci all'intervallo [0, 2\pi].

Studiamo le intersezioni con l'asse X

f(x)=0\iff \tan(x)=0\iff \sin(x)=0

da cui:

x= k\pi \quad k\in\mathbb{Z}

I punti di intersezione con l'asse X sono del tipo

(k\pi, 0)

Il punto di intersezione con l'asse Y è (0, f(0))=(0,0)

A questo punto per determinare il codominio è sufficiente osservare che:

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\tan(x)}{\sin(x)-1}=

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\sin(x)}{\cos(x)(\sin(x)-1)}=

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}\frac{1}{\cos(x)}\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-1}= +\infty\cdot +\infty=+\infty

procedendo allo stesso modo per x\to \frac{\pi}{2}^- scopriamo invece che il limite è meno infinito. La funzione ha per codominio tutto l'asse reale.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, ACAB
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Os