Problema verifica limite usando la definizione.

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Problema verifica limite usando la definizione. #35928

avt
Dreams79
Cerchio
Buon pomeriggio a tutti, dopo un bel pò di tempo ritorno nuovamente a chiedere il vostro aiuto, ormai divenuti la mia ancora di salvezza perenne.
Vengo al dunque, il professore ha spiegato il concetto di limite e ha illustrato alcuni procedimenti per la verifica del limite usando la definizione; mi sono messo di buon pugno e ho iniziato a fare alcuni esercizi incontrando non poche difficoltà riuscite in gran parte a superare ,tranne due che illustro sperando in un vostro aiuto.

Esercizio: verificare i seguenti limiti, applicando la definizione opportuna:

\\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to-\infty}3^{x-4}=-\infty

Ringraziandovi anticipatamente, porgo i miei più cordiali saluti.

Gianluca.
 
 

Problema verifica limite usando la definizione. #35932

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dreams79, innanzitutto grazie per le belle parole! emt

La verifica dei limiti con la definizione è un argomento che abbiamo trattato moltissime volte qui su YM, sia a livello teorico che a livello pratico, dunque se vuoi approfondire ti suggerisco di leggere:

- le prime lezioni sui limiti;

- le schede di esercizi correlati, in cui proponiamo il metodo di svolgimento per ciascuno dei quattro casi;

ed infine di effettuare almeno tre ricerche qui su YM, con query del tipo "verifica limite", "limite con definizione" e simili. Te lo dico perché ci saranno almeno 100 esercizi svolti sull'argomento.

Morale: se gli appunti che hai preso a lezione non ti garbano, puoi studiare in tutta tranquillità qui da noi. emt

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Esercizio 1

Dopo aver letto le lezioni e le schede di esercizi, prova a leggere gli svolgimenti che ti propongo. Nel caso del primo limite, che è un limite infinito per x tendente ad un valore infinito, iniziamo con l'imporre che

\frac{x^2-1}{x}> N

dove N rappresenta un numero reale "grande" e arbitrario. Nota che abbiamo a che fare con una disequazione, dunque in linea generale non potremmo moltiplicare per x entrambi i membri. In questo contesto, però, possiamo farlo perché si suppone che x sia nell'intorno di +\infty, dunque necessariamente positivo

\\ x^2-1> Nx \\ \\ x^2-Nx-1> 0

Questa è una disequazione quadratica e la risolviamo secondo il procedimento standard, ottenendo come soluzioni

x< \frac{N-\sqrt{N^2+4}}{2}\vee x> \frac{N+\sqrt{N^2+4}}{2}

A noi interessano i valori nell'intorno di +\infty per garantire la verifica del limite, quindi ci limitiamo a considerare l'intervallo di soluzioni dato da

x> \frac{N+\sqrt{N^2+4}}{2}

che possiamo scrivere come

\left(\frac{N+\sqrt{N^2+4}}{2},+\infty\right)

Abbiamo finito, perché imponendo la condizione di controllo sulle ordinate

f(x)>N

abbiamo ricavato a fortiori una condizione di controllo sulle ascisse

x>M

dove

M=\frac{N+\sqrt{N^2+4}}{2}

è un numero reale "grande" e dipendente da N. emt


Esercizio 2

Per quanto riguarda la seconda verifica vedremo che qui le cose non funzionano a dovere.

Vedremo che

\lim_{x\to -\infty}3^{x-4}=-\infty

non soddisfa la relativa definizione. Fissiamo N>0 e consideriamo la disequazione esponenziale

3^{x-4}<-N

Essa non ha soluzioni perché al primo membro la funzione esponenziale è certamente positiva, mentre al secondo membro ci troviamo una quantità negativa. Non perdiamo di vista la positività di N mediante la quale possiamo subito dedurre che -N è una quantità negativa.

Poiché una quantità positiva non può essere minorata da una quantità negativa concludiamo che la disequazione

3^{x-4}<-N

è impossibile e dunque il limite non può essere corretto.
Ringraziano: Pi Greco, Dreams79
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Os