Problema sulle funzioni logaritmiche #35143

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho ancora dubbi su un altro problema sulle funzioni logaritmiche..

Eccolo: data la funzione

f(x)=a\log_{2}(x+b)


a) Calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l'origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) Rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a b trovati.

c) Risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

2\log_{2}(x+1)>=3-\log_{\frac{1}{2}}x


Allora io ho provato a fare il punto a) però secondo me non si ha abbastanza cose per determinare a e b, e soprattutto mi interessano i grafici che proprio non so come farli..

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente..

Mi sono scordato i risultati:

a) a=2, b=1; c) 0<x\leq 3-2\sqrt{2} e x\geq 3+2\sqrt{2}
 
 

Problema sulle funzioni logaritmiche #35190

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Drago95

Iniziamo con la prima richiesta. In pratica ci sta chiedendo il sistema:

\begin{cases}f(0)=0\\ f(3)=4\end{cases}\iff \begin{cases}a\log_2(b)=0\\a\log_2(3+b)=4\end{cases}

La prima equazione del sistema è soddisfatta se a=0 oppure \log_2(b)=0\iff b=1

Se a=0 la seconda equazione non è soddisfatta. Se b=1 sostituiamo nella seconda equazione:

a\log_2(4)=4\iff 2a=4\iff a=2

Scopriamo quindi che la soluzione del sistema:

a=2, b=1.

La funzione si scrive quindi come:

f(x)=2\log_2(x+1)

Il grafico è


logartimo_2012 10 11



L'unico modo per rappresentare il grafico senza uno studio di funzioni è quello di prendere il grafico noto della funzione h(x)=\log_2(x)

Moltiplicando per due la funzione h abbiamo una dilatazione dell'intero grafico.

quando passiamo a considerare 2\log_2(x+1) effettua una traslazione del grafico verso sinistra di una unità. Nel seguente grafico inserisco insieme i passaggi:


logartimo2



Risolviamo ora la disequazione analiticamente:

2\log_2(x+1)\ge 3-\log_{\frac{1}{2}}(x)

Per la proprietà dei logaritmi abbiamo che:

\log_{\frac{1}{2}}(x)= -\log_2(x)

Inoltre 2\log_2(x+1)= \log_2((x+1)^2)\quad \forall x>-1

La disequazione si scrive quindi come:

\log_2((x+1)^2)\ge 3+\log_{2}(x)\quad\forall x>0

\log_2\left(\frac{(x+1)^2}{x}\right)\ge 3\quad\forall x>0

Quindi:

\frac{(x+1)^2}{x}>8\iff \frac{(x+1)^2-8x}{x}>0

Risolviamo la disequazione studiando i segni del numeratore e del denominatore. Osserva però che il denominatore è sempre positivo, quindi la disequazione è soddisfatta se e solo se (x+1)^2-8x>0

Questa disequazione è soddisfatta per x<3-2\sqrt{2}\vee x>3+2\sqrt{2}

Imponendo la condizione x>0 otteniamo effettivamente:

0<x<3-2\sqrt{2}\vee x>3+2\sqrt{2}

Per quanto riguarda la soluzione grafica, devi disegnare le due funzioni


logartimo3


in verde ho disegnato la funzione \color{green}2\log_2(x+1) mentre in rosso ho disegnato la funzione \color{red}3-\log_{\frac{1}{2}}(x). In celeste viene rappresentato l'insieme in cui la funzione in rosso sta sotto la funzione in verde, e rappresenta la soluzione della disequazione.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os