Dire se una funzione è superiormente limitata

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Dire se una funzione è superiormente limitata #34695

avt
Jumpy
Cerchio
Ciao ragazzi buona sera emt sto avendo un po' di problemi con un esercizio in cui devo stabilire se una funzione è superiormente limitata o meno, mi potreste aiutare? ...

La funzione:


f(x)=

e^x se x<=0

x-1 se x>0


E' limitata superiormente? E' limitata inferiormente? Ha massimo, ha minimo?

Grazie in anticipo ... Se possibile vorrei capire il metodo grazie emt
 
 

Dire se una funzione è superiormente limitata #34700

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Jumpy emt

Abbiamo la funzione:

f(x)=\begin{cases}e^{x}&\mbox{ se }x\le 0\\x-1&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Nota che la funzione è definita a tratti, o per casi. Lavoriamo con il primo caso:

e^{x} se x\le 0.

La funzione esponenziale è monotona crescente, per il teorema delle funzioni monotone abbiamo che:

\inf_{x\le 0}e^x= \lim_{x\to -\infty}e^{x}=0

d'altro canto:

\sup_{x\le 0}e^{x}= \lim_{x\to 0}e^{x}=1

Quindi la funzione f è limitata inferiormente e superiormente per x\le 0. In particolare, poiché per x=0 si ha che e^{0}=1, pertanto f(0)=1 è un massimo assoluto per x\le 1

Lavoriamo con l'altro ramo della funzione.

f(x)=x-1 se x>0. E' una funzione crescente quindi:

\mbox{inf}_{x>0}f(x)= \lim_{x\to 0}x-1=-1

mentre:

\sup_{x>0}f(x)=\lim_{x\to \infty}x-1=+\infty

In questo caso abbiamo che la funzione è inferiormente limitata, ma non ha minimo perché non esiste alcun valore x>0 per il quale si ha che:

f(x)=-1. Non è superiormente limitata.

Globalmente la funzione è inferiormente limitata da -1, ma non è superiormente limitata. Non ha massimo né minimo.

Il grafico della funzione è:


infsupmaxmin
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Jumpy
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Os