Un dubbio sull'integrale definito #34381

avt
nafter
Punto
Salve ragazzi, avrei bisogno del vostro aiuto per chiarire un dubbio riguardo agli integrali definiti. Volevo considerare l'integrale definito di y=2x.

y2x


L'integrale definito di una funzione lo posso vedere come l'area sottesa dalla curva con l'asse delle ascisse.
Però so anche che la funzione integrale è anche una primitiva della f(x)=2x che sto considerando (e la chiamo F(x)).
Facendo l'integrale da 0 a una qualsiasi b noto che trovo appunto i valori di

yx2partI


Però facendo l'integrale di y=2x dalla parte del grafico con le x negative, cioè tra -∞ e 0 e interpretandolo come area vedo che dovrei avere: es partendo da x=-10 a x=-9 un valore negativo che cresce man mano che amplio il range es da (-10 a -8), (-10 a -7)...
Questo però non mi viene a corrispondere con la primitiva, cioè con la funzione F(x)=x^2, perché essa dovrebbe essere positiva, mentre l'area sottesa dal grafico y=2x nel caso in cui si trovi sotto l'asse delle x (ordinate negative) esso mi dovrebbe restituire per definizione un'area negativa.
 
 

Un dubbio sull'integrale definito #34384

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Nafter,

secondo me è un problema che riguarda l'ordine con cui metti gli estremi di integrazione, perchè se ad esempio consideri

\int_{-1}^{0}2x dx= -1

poiché F(-1)=1,F(0)=0 se F(x)=x^{2}, ma si ha che

\int_{-1}^{0} 2x dx= F(0)-F(-1).

Ricorda che nella definizione dell'integrale di Riemann

\int_{a}^{b} f(x)dx si ha che a<b,

(e f è limitata),

successivamente si può definire l'integrale definito

\int_{b}^{a} f(x)dx (se a<b) ponendo

\int_{b}^{a} f(x)dx := -\int_{a}^{b} f(x)dx

e

\int_{a}^{a} f(x)dx:=0

Spero di essere stato chiaro.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Un dubbio sull'integrale definito #34398

avt
nafter
Punto
ciao Lorenzo, grazie per la risposta emt

successivamente si può definire l'integrale definito

\int_{b}^{a} f(x)dx (se a<b) ponendo
\int_{b}^{a} f(x)dx := -\int_{a}^{b} f(x)dx
e
\int_{a}^{a} f(x)dx:=0

Spero di essere stato chiaro


Questa parte mi è chiara.

Mi è invece meno chiaro appunto:
\int_{-1}^{0} 2x dx= F(0)-F(-1)
Ma dato che F(-1) = 1 il tutto mi viene negativo, mentre io so che l'F(x) è positiva

yx2partII


Cioè l'area è giustamente negativa, perché sono sotto l'asse delle x, ma io dovrei averla positiva guardando la primitiva.

Non so se ho spiegato meglio il problema emt

Un dubbio sull'integrale definito #34404

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Nafter,

è il teorema fondamentale del calcolo che fa mettere un meno davanti a F(-1), comunque credo che il tuo problema sia un altro.
Se ho ben capito tu vuoi disegnare il grafico della funzione integrale

\int_{0}^{x} 2t dt = x^{2}

che è positiva, mentre

\int_{x}^{0} 2t dt = -x^{2}

Secondo me dipende tutto da come metti gli estremi di integrazione.
Se hai già studiato gli integrali impropri e vuoi fare un esercizio per capire meglio le funzioni integrali puoi disegnare il grafico di

\int_{-\infty}^{x} e^{-t^{2}} dt
Ringraziano: nafter

Un dubbio sull'integrale definito #34409

avt
nafter
Punto
Ciao Nafter,
è il teorema fondamentale del calcolo che fa mettere un meno davanti a F(-1), comunque credo che il tuo problema sia un altro.
Se ho ben capito tu vuoi disegnare il grafico della funzione integrale
\int_{0}^{x} 2t dt = x^{2}
che è positiva, mentre
\int_{x}^{0} 2t dt = -x^{2}
Secondo me dipende tutto da come metti gli estremi di integrazione.
Se hai già studiato gli integrali impropri e vuoi fare un esercizio per capire meglio le funzioni integrali puoi disegnare il grafico di
\int_{-\infty}^{x} e^{-t^{2}} dt


Si esato è per la formula fondamentale del calcolo integrale che mi dice che la funzione è uguale alla differenza dei valori nell'estremo di integrazione superiore e inferiore.
però so anche per il teorema fondamentale del calcolo integrale che la funzione integrale F(x) è una primitiva di f(x). Dunque io non capisco perché invece il valore che ottengo è negativo (cioè in questo caso -x^2) mentre dovrebbe essere positivo. In sostanza non riesco a far combaciare le due cose; però credo che gli estremi di integrazione siano da mettere proprio così come abbiamo scritto.
È lì il mio problema.
Ringraziano: Pi Greco

Un dubbio sull'integrale definito #34684

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Nafter,
non capisco perchè dici che deve venire un valore positivo se la funzione 2x è negativa se x<0...

Re: Un dubbio sull'integrale definito #34716

avt
nafter
Punto
ciao emt

dico che l'integrale dovrebbe essere positivo come valore in quanto la curva della funzione primitiva (x^2) è positiva.
Cioè facendo l'integrale definito dovrei trovare la primitiva di 2x, mentre ciò mi accade per ascisse positive, mi sembra che per le negative non mi funzioni perché trovo valori -(x^2).

Re: Un dubbio sull'integrale definito #36190

avt
Fylax
Frattale
nafter, se ho capito il tuo problema, sbagli nel considerare le aree!

l'area che vai a calcolare con l'integrale è quello della funzione 2x non della primitiva x^2
come giustamente hai notato se integro 2x tra -1 e 0 ottengo come risultato -1 che è (come da te evidenziato) un'area negativa in quanto la funzione 2x<0 \ \text{per} \ - \infty<x<0
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Os