Verificare un limite infinito con logaritmo

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Verificare un limite infinito con logaritmo #34350

avt
Lorenzo94
Cerchio
Buona sera, non riesco a verificare un limite infinito. Come si deve risolvere? So che devo applicare la definizione, quindi imporre f(x) > -M, ma non riesco a risolverla causa presenza di logaritmo (che io odio!).

Grazie mille emt

\lim_{x\to 0}\log_3{(x^2-4x)}=-\infty

Grazie mille!
 
 

Verificare un limite infinito con logaritmo #34370

avt
Omega
Amministratore
Il limite va verificato secondo la definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito, nel caso in cui la teoria non fosse chiara ti suggerisco:

- di consultare gli esercizi correlati;

- di effettuare un paio di ricerche qui su YM.

Prendiamo un M>0, arbitrario, da immaginare come un numero "grande", e imponiamo

f(x)<-M

cioè

\log_{3}(x^2-4x)<-M

Non dimentichiamoci di imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni:

x^2-4x>0\to x<0\vee x>4

che ci dicono, al contempo, che il limite da verificare è

\lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=-\infty

giacché il logaritmo in esame non è definito in nessun intorno destro di x_0=0.

Dalla disequazione ricaviamo

x^2-4x<3^{-M}

Notiamo che se M è da considerarsi grande, 3^{-M} sarà conseguentemente piccolo.

x^2-4x-3^{-M}<0

Trattiamo la disequazione per quello che è, vale a dire una disequazione di secondo grado. Le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata sono

x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+4\cdot 3^{-M}}}{2}

e le soluzioni della disequazione di secondo grado sono date da

\frac{4-\sqrt{16+4\cdot 3^{-M}}}{2}<x<\frac{4+\sqrt{16+4\cdot 3^{-M}}}{2}

Confrontando le soluzioni con le C.E. dobbiamo limitarci all'intorno sinistro di 0

\frac{4-\sqrt{16+4\cdot 3^{-M}}}{2}<x<0

e dato che 3^{-M} è un numero "piccolo" (prossimo allo zero), ne consegue che 16+4\cdot 3^{-M} è prossimo a 16, e in definitiva

\delta=\delta(M)=\frac{4-\sqrt{16+4\cdot 3^{-M}}}{2}

è il valore dipendente da M che soddisfa la definizione.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Verificare un limite infinito con logaritmo #34839

avt
Lorenzo94
Cerchio
Grazie Mille emt
Ringraziano: Omega
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Os