Verifica di un limite infinito con la definizione

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Verifica di un limite infinito con la definizione #33705

avt
Lorenzo94
Cerchio
Buongiorno a tutti dovrei verificare con la definizione il seguente limite

lim di x-->+ infinito di (x^3+x^2+x-1)/(x-1)= + infinito

Allora ovviamente devo seguire la definizione di dato m>0 esisterà un xm tale che f(x)>m con x>xm

Ovviamente impongo

(x^3+x^2+x-1)/(x-1)> m

Ho fatto tutti i calcoli della disequazione... poi? Non so quale valore devo prendere!

Help me!
 
 

Verifica di un limite infinito con la definizione #33712

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzo94 emt [Edit] Niente "benvenuto": sei un utente di vecchia data! emt [/Edit]

Puoi risolvere agilmente il problema, e dunque verificare il limite con la definizione, osservando che in un intorno di +\infty

x^3+x^2+x+1\geq x^3

Dunque se vale

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3}{x-1}}=+\infty

allora vale evidentemente anche il limite dato, grazie al teorema del confronto.

Morale: puoi limitarti a verificare, in tutta serenità, il

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3}{x-1}}=+\infty

Di più: osservando che x-1 <x (vero in particolare nell'intorno di +\infty), puoi maggiorare

\frac{x^3}{x-1}\geq \frac{x^3}{x}=x^2

la regola è: "divido la stessa quantità per qualcosa di più piccolo e ottengo qualcosa di più grande".

Morale: puoi limitarti a verificare il limite

\lim_{x\to +\infty}{x^2}=+\infty

con la definizione. Poni

x^2>M

da cui

-\sqrt{M}<x\vee x>\sqrt{M}

Dato che ci troviamo in un intorno di +\infty, l'unica disuguaglianza che dobbiamo considerare è

x>\sqrt{M}.

Il limite è verificato. emt

[Mod] Il titolo "Limiti" è decisamente troppo generico per questa discussione. Cortesemente scegline di più significativi, in futuro: per questa volta provvederò io a modificarlo. emt [/Mod]
Ringraziano: Pi Greco

Verifica di un limite infinito con la definizione #33716

avt
Lorenzo94
Cerchio
O mio dio! Scusa tantissimo ma ho sbagliato a scrivere il testo!!!
è

lim di x-->+- infinito di (x^3-x^2+x-1)/(x-1)= + infinito

Scusami tantissimo!!! :(

E'che sto proprio agli inizi con i limiti emt

Verifica di un limite infinito con la definizione #33720

avt
Omega
Amministratore
Nessun problema: ti basta semplificare effettuando un opportuno raccoglimento parziale (x-1), dopodiché semplifica. emt

Verifica di un limite infinito con la definizione #33732

avt
Lorenzo94
Cerchio
E viene tipo x> radice di m-1 ?
Perchè io svolgo normalmente la disequazione e arrivo a studiare il segno diciamo... ma non riesco a capire che valori devo prendere adesso che sto studiando i limti...

Re: Verifica di un limite infinito con la definizione #33859

avt
Omega
Amministratore
Si, se ci limitiamo a verificare il

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty

imporre f(x)>M porta a x>\sqrt{M-1}.

Se semplifichiamo la funzione dopo aver scomposto

x^3-x^2+1-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x^2+1)(x-1)

la verifica del limite si riduce a

\lim_{x\to +\infty}{(x^2+1)}=+\infty.

Imponendo x^2+1>M ricaviamo x^2>M-1, e dunque

x<-\sqrt{M-1}\vee x>+\sqrt{M-1}.

La seconda disequazione è quella che prova la validità del limite per x\to +\infty, mentre la prima prova che vale il

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty.

emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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