Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica
Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica #33372
 Rita Punto | Salve, avrei bisogno di un aiutino per trovare il dominio di questa funzione. Calcolare il dominio della funzione  al variare del parametro reale positivo e diverso da 1  .In teoria, credo che dovrei mettere a sistema gli argomenti dei logaritmi, ho provato a svolgerla ma finisco in un abisso senza uscita! Grazie a chi mi aiuterà. |
Re: Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica #33378
Danni Sfera | Ciao Rita, seguiamo le indicazioni della lezione sul dominio. Il nostro compito consiste nel determinare l'insieme di definizione della funzione con parametro Proprio perché siamo in presenza di una radice con indice pari dobbiamo richiedere che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero: ciò si traduce nella disequazione fratta con parametro  In accordo alla teoria delle disequazioni esponenziali e quelle logaritmiche, dobbiamo distinguere due casi: analizziamo la disequazione per  .Il perché di questa distinzione è presto detto: le disequazioni con esponenziali e logaritmi si risolvono in modo differente a seconda dei valori che le basi assumono. Cominciamo con il caso  e studiamo la disequazioneanalizzando separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore. Lo studio del segno del denominatore conduce alla disequazione logaritmica  che possiamo riscrivere come  Poiché , essa è equivalente al sistema di disequazioni dove la prima e la seconda disequazione rappresentano le condizioni di esistenza dei due logaritmi, mentre l'ultima scaturisce dal confronto degli loro argomenti. Affrontiamo singolarmente le condizioni, partendo dalla disequazione di secondo grado  e continuando con  Per quanto concerne la disequazione  scriviamola prima di tutto in forma normale, sommando tra loro i termini simili ricavando così la disequazione  Con le informazioni a nostra disposizione, possiamo scrivere il sistema equivalente a quello dato  la cui soluzione individua l'insieme su cui il numeratore è non negativo  mentre è negativo nell'insieme  .Studiamo il segno del denominatore sempre per , impostando la disequazione esponenziale Nota: non abbiamo inserito il simbolo di uguaglianza giacché il denominatore non può annullarsi. Scriviamo in forma normale isolando un'esponenziale al primo membro  e, poiché , possiamo tralasciare la base e confrontare gli esponenti senza invertire il verso. Una volta rappresentati i segni su un'opportuna tabella, scopriamo che per la disequazione ha per soluzioni  e rappresenta il dominio della funzione, vale a dire: ![Dom(f) = (1,4]](data:image/gif;base64,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){kind=small} Il caso è completo.Per  le disequazioni che abbiamo analizzato cambiano verso: più precisamente è equivalente al sistema  Attenzione al verso dell'ultima relazione, in accordo con la teoria delle disequazioni logaritmiche siamo stati costretti a invertirlo proprio perché la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1. Analizzando le disequazioni, scopriamo che il sistema ammette come soluzioni  , insieme nel quale il numeratore è positivo o nullo.Per quanto concerne il denominatore, la disequazione diventa La base è per ipotesi compresa tra 0 e 1, ecco perché quando la semplifichiamo dobbiamo ricordarci di cambiare verso Il denominatore è positivo per  .Una volta costruita la tabella dei segni, in cui riportiamo il segno del numeratore e quello del denominatore, scopriamo che la disequazione è soddisfatta se . Possiamo, pertanto, concludere che il dominio della funzione èanche nel caso . |
|