Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica

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Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica #33372

avt
Rita
Punto
Salve, avrei bisogno di un aiutino per trovare il dominio di questa funzione.

Calcolare il dominio della funzione

f(x)=\sqrt{\frac{\log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)}{a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}}}

al variare del parametro reale positivo e diverso da 1 a.

In teoria, credo che dovrei mettere a sistema gli argomenti dei logaritmi, ho provato a svolgerla ma finisco in un abisso senza uscita!

Grazie a chi mi aiuterà.
 
 

Re: Determinare il dominio di una funzione con equazione logaritmica #33378

avt
Danni
Sfera
Ciao Rita,

seguiamo le indicazioni della lezione sul dominio.

Il nostro compito consiste nel determinare l'insieme di definizione della funzione con parametro a

f(x)=\sqrt{\frac{\log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)}{a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}}}

Proprio perché siamo in presenza di una radice con indice pari dobbiamo richiedere che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero: ciò si traduce nella disequazione fratta con parametro

\frac{\log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)}{a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}}\ge 0

In accordo alla teoria delle disequazioni esponenziali e quelle logaritmiche, dobbiamo distinguere due casi: analizziamo la disequazione per a>1 \ \mbox{e} \ 0<a<1.

Il perché di questa distinzione è presto detto: le disequazioni con esponenziali e logaritmi si risolvono in modo differente a seconda dei valori che le basi assumono.

Cominciamo con il caso a>1 e studiamo la disequazione

\frac{\log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)}{a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}}\ge 0

analizzando separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore.

Lo studio del segno del denominatore conduce alla disequazione logaritmica

N\ge 0 \ \to \ \log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)\ge 0

che possiamo riscrivere come

\log_{a}(x^2+2x)\ge \log_{a}(x^2+3x-4)

Poiché a>1, essa è equivalente al sistema di disequazioni

\begin{cases}x^2+2x>0 \\ \\ x^2+3x-4>0 \\ \\ x^2+2x\ge x^2+3x-4\end{cases}

dove la prima e la seconda disequazione rappresentano le condizioni di esistenza dei due logaritmi, mentre l'ultima scaturisce dal confronto degli loro argomenti.

Affrontiamo singolarmente le condizioni, partendo dalla disequazione di secondo grado

x^2+2x>0 \ \to \ x<-2\ \vee \ x>0

e continuando con

x^2+3x-4>0\ \to \ x<-4 \ \vee \ x>1

Per quanto concerne la disequazione

x^2+2x\ge x^2+3x-4

scriviamola prima di tutto in forma normale, sommando tra loro i termini simili ricavando così la disequazione

4-x\ge 0 \ \to \ x\le 4

Con le informazioni a nostra disposizione, possiamo scrivere il sistema equivalente a quello dato

\begin{cases}x<-2\ \vee \ x>0 \\ \\ x<-4 \ \vee \ x>1 \\ \\ x\le 4\end{cases}

la cui soluzione individua l'insieme su cui il numeratore è non negativo

x<-4 \ \vee \ 1<x\le 4

mentre è negativo nell'insieme x>4.

Studiamo il segno del denominatore sempre per a>1, impostando la disequazione esponenziale

a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}>0

Nota: non abbiamo inserito il simbolo di uguaglianza giacché il denominatore non può annullarsi.

Scriviamo in forma normale isolando un'esponenziale al primo membro

a^{x^2+3x-1}>a^{x^2+2}

e, poiché a>1, possiamo tralasciare la base e confrontare gli esponenti senza invertire il verso.

x^2+3x-1>x^2+2 \ \to \ 3x>3 \ \to x>1

Una volta rappresentati i segni su un'opportuna tabella, scopriamo che per a>1 la disequazione

\frac{\log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)}{a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}}\ge 0

ha per soluzioni

1<x\le 4

e rappresenta il dominio della funzione, vale a dire:

Dom(f)=(1,4]

Il caso a>1 è completo.

Per 0<a<1 le disequazioni che abbiamo analizzato cambiano verso: più precisamente

\\ \log_a(x^2+2x)-\log_a(x^2+3x-4)\ge 0 \ \to \\ \\ \to \ \log_{a}(x^2+2x)\ge \log_a(x^2+3x-4)

è equivalente al sistema

\begin{cases}x^2+2x>0 \\ \\ x^2+3x-4> 0 \\ \\ x^2+2x\le x^2+3x-4\end{cases}

Attenzione al verso dell'ultima relazione, in accordo con la teoria delle disequazioni logaritmiche siamo stati costretti a invertirlo proprio perché la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1.

Analizzando le disequazioni, scopriamo che il sistema ammette come soluzioni x\ge 4, insieme nel quale il numeratore è positivo o nullo.

Per quanto concerne il denominatore, la disequazione

a^{x^2+3x-1}-a^{x^2+2}>0

diventa

a^{x^2+3x-1}>a^{x^2+2}

La base a è per ipotesi compresa tra 0 e 1, ecco perché quando la semplifichiamo dobbiamo ricordarci di cambiare verso

x^2+3x-1<x^2+2 \ \to \ 3x<3 \ \to \ x<1

Il denominatore è positivo per x<1.

Una volta costruita la tabella dei segni, in cui riportiamo il segno del numeratore e quello del denominatore, scopriamo che la disequazione è soddisfatta se 1<x\le 4. Possiamo, pertanto, concludere che il dominio della funzione è

Dom(f)=(1,4]

anche nel caso 0<a<1.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os