Verifica di un limite applicando la definizione

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Verifica di un limite applicando la definizione #33250

avt
Pollicina94
Punto
Salve! Mi servirebbe aiuto con la verifica di questo limite applicando la definizione opportuna. Potreste darmi una mano?

\lim_{x\to 0}{(x^{3}- 1)}= -1
 
 

Verifica di un limite applicando la definizione #33285

avt
Omega
Amministratore
Per la verifica del limite

\lim_{x\to 0}{(x^3-1)}=-1

si prende un valore \varepsilon di controllo sulle ordinate ("per ogni" \varepsilon) e si impone che la distanza dei valori assunti dalla funzione non distino dal valore del limite l più di \varepsilon ossia

|f(x)-l| < \varepsilon

Se la precedente imposizione ci conduce ad avere ascisse che distano da

x_0=0=\mbox{valore cui tende la }x

non più di un valore piccolo e dipendente da \varepsilon (quello che sarà il nostro valore \delta di controllo per le ascisse), allora il limite è verificato, in caso contrario no.

Da

|f(x)-l| < \varepsilon

abbiamo

|x^3-1+1| < \varepsilon

ossia

|x^3| < \varepsilon

Grazie alla definizione di modulo la disequazione ottenuta si esprime come

-\varepsilon <  x^3 < \varepsilon

ed estraendo membro a membro la radice cubica concludiamo che

-\sqrt[3]{\varepsilon} < x < \sqrt[3]{\varepsilon}

Osserviamo che possiamo vedere la doppia disequazione come

-\sqrt[3]{\varepsilon} < x-0 < \sqrt[3]{\varepsilon}

o ancora come

|x-0| < \sqrt[3]{\varepsilon}

Morale: il limite è verificato, perché imponendo la disuguaglianza di controllo per le ordinate

|f(x)-l| < \varepsilon

otteniamo una disuguaglianza di controllo per le ascisse

|x-x_0| < \delta

dove \delta=\sqrt[3]{\varepsilon} è un valore reale piccolo e dipendente da \varepsilon.

Per approfondire, ti suggerisco le seguenti letture:

- limite finito per x tendente ad un valore finito;

- come risolvere gli esercizi di verifica dei limiti finiti per x tendente a valori finiti

- esercizi svolti di verifica dei limiti con la definizione (prime due schede)
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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