Verifica di un limite applicando la definizione

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Verifica di un limite applicando la definizione #33250

Pollicina94 Punto	Salve! Mi servirebbe aiuto con la verifica di questo limite applicando la definizione opportuna. Potreste darmi una mano? $\lim_{x\to 0}{(x^{3}- 1)}= -1$

Verifica di un limite applicando la definizione #33285

Omega

Amministratore

Per la verifica del limite

$\lim_{x\to 0}{(x^3-1)}=-1$

si prende un valore $\varepsilon$ di controllo sulle ordinate ("per ogni" $\varepsilon$ ) e si impone che la distanza dei valori assunti dalla funzione non distino dal valore del limite

più di $\varepsilon$ ossia

$|f(x)-l| < \varepsilon$

Se la precedente imposizione ci conduce ad avere ascisse che distano da

$x_0=0=\mbox{valore cui tende la }x$

non più di un valore piccolo e dipendente da $\varepsilon$ (quello che sarà il nostro valore $\delta$ di controllo per le ascisse), allora il limite è verificato, in caso contrario no.

Da

$|f(x)-l| < \varepsilon$

abbiamo

$|x^3-1+1| < \varepsilon$

ossia

$|x^3| < \varepsilon$

Grazie alla definizione di modulo la disequazione ottenuta si esprime come

$-\varepsilon < x^3 < \varepsilon$

ed estraendo membro a membro la radice cubica concludiamo che

$-\sqrt[3]{\varepsilon} < x < \sqrt[3]{\varepsilon}$

Osserviamo che possiamo vedere la doppia disequazione come

$-\sqrt[3]{\varepsilon} < x-0 < \sqrt[3]{\varepsilon}$

o ancora come

$|x-0| < \sqrt[3]{\varepsilon}$

Morale: il limite è verificato, perché imponendo la disuguaglianza di controllo per le ordinate

$|f(x)-l| < \varepsilon$

otteniamo una disuguaglianza di controllo per le ascisse

$|x-x_0| < \delta$

dove $\delta=\sqrt[3]{\varepsilon}$ è un valore reale piccolo e dipendente da $\varepsilon$ .

Per approfondire, ti suggerisco le seguenti letture:

- limite finito per x tendente ad un valore finito;

- come risolvere gli esercizi di verifica dei limiti finiti per x tendente a valori finiti

- esercizi svolti di verifica dei limiti con la definizione (prime due schede)

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

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