Verifica di un limite applicando la definizione #33250

avt
Pollicina94
Punto
Salve! Mi servirebbe aiuto con la verifica di questo limite applicando la definizione opportuna. Potreste darmi una mano?

lim_(x → 0)(x^(3)-1) = -1
 
 

Verifica di un limite applicando la definizione #33285

avt
Omega
Amministratore
Per la verifica del limite

lim_(x → 0)(x^3-1) = -1

si prende un valore ε di controllo sulle ordinate ("per ogni" ε) e si impone che la distanza dei valori assunti dalla funzione non distino dal valore del limite l più di ε ossia

|f(x)-l| < ε

Se la precedente imposizione ci conduce ad avere ascisse che distano da

x_0 = 0 = valore cui tende la x

non più di un valore piccolo e dipendente da ε (quello che sarà il nostro valore δ di controllo per le ascisse), allora il limite è verificato, in caso contrario no.

Da

|f(x)-l| < ε

abbiamo

|x^3-1+1| < ε

ossia

|x^3| < ε

Grazie alla definizione di modulo la disequazione ottenuta si esprime come

-ε < x^3 < ε

ed estraendo membro a membro la radice cubica concludiamo che

-[3]√(ε) < x < [3]√(ε)

Osserviamo che possiamo vedere la doppia disequazione come

-[3]√(ε) < x-0 < [3]√(ε)

o ancora come

|x-0| < [3]√(ε)

Morale: il limite è verificato, perché imponendo la disuguaglianza di controllo per le ordinate

|f(x)-l| < ε

otteniamo una disuguaglianza di controllo per le ascisse

|x-x_0| < δ

dove δ = [3]√(ε) è un valore reale piccolo e dipendente da ε.

Per approfondire, ti suggerisco le seguenti letture:

- limite finito per x tendente ad un valore finito;

- come risolvere gli esercizi di verifica dei limiti finiti per x tendente a valori finiti

- esercizi svolti di verifica dei limiti con la definizione (prime due schede)
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, umbria
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