Problemi con la verifica di limiti con la definizione

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Problemi con la verifica di limiti con la definizione #31933

avt
Diddi
Cerchio
La mia insegnante di matematica mi ha dato un esercizio sulla verifica di un limite con la definizione. Mi aiutate per favore?

Utilizzare la definizione di limite sinistro per dimostrare che:

\lim_{x\to 0^{-}}(2-\sqrt{-x})=2

Come si fa? Grazie.
 
 

Problemi con la verifica di limiti con la definizione #31938

avt
Omega
Amministratore
Prima di svolgere l'esercizio ricordiamo la definizione di limite sinistro.

Siano:

\bullet \ \ \ f(x) una funzione con dominio Dom(f);

\bullet \ \ \ x_0 un punto di accumulazione per il dominio;

\bullet \ \ \ \ell un numero reale.

Diremo che \ell è il limite sinistro per x che tende a x_0 di f(x) e scrivere:

\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\ell

se e solo se per ogni \varepsilon>0, è possibile determinare un numero reale positivo \delta_{\varepsilon}>0 con cui definire intorno sinistro di x_0:

x_0-\delta_{\varepsilon}<x<x_0

tale che tutti gli x del dominio che soddisfano la doppia disuguaglianza realizzano anche la seguente:

|f(x)-\ell|<\varepsilon

Dopo il preambolo teorico, possiamo occuparci dell'esercizio: dobbiamo dimostrare che

\lim_{x\to 0^{-}}(2-\sqrt{-x})=2

In questo caso x_0=0, \ \ell=2, mentre la funzione di cui si vuole calcolare il limite è:

f(x)=2-\sqrt{-x}

che è definita nell'insieme Dom(f)=(-\infty,0].

Partiamo dalla disuguaglianza con valore assoluto

|f(x)-\ell|<\varepsilon \ \ \ \to \ \ \ |(2-\sqrt{-x})-2|<\varepsilon

e risolviamola rispetto alla variabile x. Per prima cosa cancelliamo i due

|-\sqrt{-x}|<\varepsilon

dopodiché sfruttiamo le proprietà del valore assoluto che consentono di riscrivere la precedente disequazione nella forma equivalente:

|\sqrt{-x}|<\varepsilon

Inoltre, proprio perché la radice quadrata è non negativa, il valore assoluto al primo membro è del tutto superfluo, pertanto la disuguaglianza si riduce ulteriormente e diventa

\sqrt{-x}<\varepsilon

Osservato che i due membri sono positivi, e che la disuguaglianza è ben posta se l'argomento della radice è positivo o nullo, ossia se

-x\ge 0\ \ \ \to \ \ \ x\le 0

possiamo elevare i due membri al quadrato e scrivere:

0\le -x<\varepsilon^2 \ \ \ \to \ \ \ 0\ge x>-\varepsilon^2

La doppia disuguaglianza -\varepsilon^2<x\le 0 definisce un intorno sinistro di 0: basta prendere \delta_{\varepsilon}=\varepsilon^2.

Ciò ci autorizza a concludere che il limite

\lim_{x\to 0^{-}}(2-\sqrt{-x})=2

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os