Periodo di una funzione goniometrica con coseno

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Periodo di una funzione goniometrica con coseno #28014

avt
derp
Frattale
Devo risolvere un esercizio sul calcolo del periodo di una funzione goniometrica con coseno, avvalendomi della definizione di funzione periodica. Nonostante abbia seguito il procedimento proposto dal mio insegnante non ho ottenuto il risultato voluto dal libro.

Utilizzare la definizione di funzione periodica per calcolare il periodo della funzione goniometrica

f(x)=2\cos\left(\frac{3x+2}{2}\right)
 
 

Periodo di una funzione goniometrica con coseno #28015

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di determinare il periodo della funzione goniometrica

f(x)=2\cos\left(\frac{3x+2}{2}\right)

sfruttando la definizione di funzione periodica.

Il nostro intento consiste nel determinare il più piccolo numero reale positivo T che realizza l'identità

f(x+T)=f(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in Dom(f)

dove Dom(f) individua il dominio della funzione.

Impostiamo dunque l'equazione

f(x+T)=f(x)

che nel caso in esame diventa

\\ 2\cos\left(\frac{3(x+T)+2}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3x+2}{2}\right) \\ \\ \\ \cos\left(\frac{3x+3T+2}{2}\right)=\cos\left(\frac{3x+2}{2}\right)

Ricaviamo quindi un'equazione trigonometrica con coseno.

Ricordiamo che due angoli hanno lo stesso coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure se uno differisce per un numero intero di angoli giri dall'opposto dell'altro ossia

\frac{3x+3T+2}{2}=\frac{3x+2}{2}+2k\pi

oppure

\frac{3x+3T+2}{2}=-\frac{3x+2}{2}+2k\pi

dove k è un numero intero. Risolviamo la prima equazione in favore di T

\frac{3x+3T+2}{2}=\frac{3x+2}{2}+2k\pi\ \to\\ \\ \to\ 3x+3T+2=3x+2+2k\pi

da cui ricaviamo

T=\frac{2k\pi}{3}

Il più piccolo valore positivo associato a T lo si ottiene per k=1 pertanto

T=\frac{2\pi}{3}

si candida come periodo. Dalla seconda equazione

\frac{3x+3T+2}{2}=-\frac{3x+2}{2}+2k\pi

ricaviamo

T=-2x-\frac{4}{3}+\frac{4k\pi}{3}

Poiché T dipende dalla variabile x, non può candidarsi a periodo della funzione.

Disponiamo delle informazioni necessarie a concludere che il periodo di f(x) è T=\frac{2\pi}{3}.

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, LittleMar, derp
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Os