0,9 periodico è uguale a 1? #26240

avt
Joda
Punto
Salve, domanda sulla rappresentazione decimale di 1: 0,9 periodico è uguale a 1?

Direi di sì: ho provato a dimostrarlo prendendo

\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1

ed essendo

1/3 = 0,3 periodico

2/3 = 0,6 periodico

0,3 periodico + 0,6 periodico = 0,9 periodico

E' corretto? Grazie in anticipo
 
 

0,9 periodico è uguale a 1? #26245

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Joda emt

Sì, 0,\bar{9}=1

Io ti propongono un'ulteriore dimostrazione. Sappiamo che:

\frac{1}{9}= 0.\bar{1}

Moltiplicando membro a membro per 9:

9\times \frac{1}{9}= 0.\bar{9}

Semplifichiamo 9 al primo membro:

1= 0.\bar{9}.

Una dimostrazione un po' più elaborata è la seguente:

0.\bar{9}= \frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+...+\frac{9}{10^n}+...=

=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10^n}+...\right)

Ora:

=\frac{9}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=

A questo punto nota che \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n= \frac{1}{1-\frac{1}{10}}= \frac{10}{9}


di conseguenza:


\frac{9}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=\frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1

Questo dimostra che:

0,\bar{9}=1

Ci sono altre dimostrazioni che conosco, se le vuoi conoscere dimmi pure.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

0,9 periodico è uguale a 1? #26253

avt
Joda
Punto
grazie, ne volevo essere sicuro. Per quanti ...9 potessi aggiungere (infiniti) il dubbio : sula retta dei numeri 0,999... sta un infinitesimo prima di 1.
Ringraziano: Hobbyone Conobbi
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Os