Integrale indefinito del rapporto (3x^2)-2/sqrt(2(x^2)-4x)

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Integrale indefinito del rapporto (3x^2)-2/sqrt(2(x^2)-4x) #25377

avt
Feda.Kira
Punto
Salve a tutti, sono sempre io emt L'esercizio in questione riguarda l'integrale indefinito di un rapporto con radice. Spero di non dar fastidio con queste domande, ma sono nel panico più totale!

\int \frac{3x^2-2}{\sqrt{2x^2-4x}}dx

Grazie a tutti emt
 
 

Integrale indefinito del rapporto (3x^2)-2/sqrt(2(x^2)-4x) #25415

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Feda.Kira, è integrale carogna...

Allora io procederei in questo modo:

\int\frac{3x^2-2}{\sqrt{2x^2-4x }}dx=

Per prima cosa completo il quadrato nel radicando sommando e sottraendo 2:

=\int\frac{3x^2-2}{\sqrt{2x^2-4x+2-2}}dx=

Ora 2x^2-4x+2=2 (x-1)^2, è infatti un quadrato di binomio, in questo modo possiamo scrivere l'integrale come segue

=\int\frac{3x^2-2}{\sqrt{2(x-1)^2-2}}dx=

A questo punto mettiamo in evidenza due nel radicando:

=\int\frac{3x^2-2}{\sqrt{2[(x-1)^2-1]}}dx=

e integriamo per sostituzione ponendo t= x-1\iff x=t+1\implies dx= dt

Grazie a questa sostituzione l'integrale diventa:

=\int\frac{3(t+1)^2-2}{\sqrt{2[t^2-1]}}dt=

espandendo il quadrato al numeratore:

=\int\frac{3t^2+6t+1}{\sqrt{2[t^2-1]}}dt=(\bullet)

Grazie alla proprietà dei radicali possiamo scrivere:

\sqrt{2[t^2-1]}= \sqrt{2}\sqrt{t^2-1}

e dunque

\\ (\bullet)=\int\frac{3t^2+6t+1}{\sqrt{2}\sqrt{t^2-1}}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{3t^2+6t+1}{\sqrt{t^2-1}}dt=

Sommiamo e sottraiamo 3 al numeratore:

=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{3t^2-3+6t+4}{\sqrt{t^2-1}}dt=

e spezziamo l'integrale come somma di integrali:

=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\int\frac{3t^2-3}{\sqrt{t^2-1}}dt+\int\frac{6t}{\sqrt{t^2-1}}dt+ \int\frac{4}{\sqrt{t^2-1}}dt \right)


Risolviamo il primo integrale:

\\ I_1=\int\frac{3t^2-3}{\sqrt{t^2-1}}dt= \\ \\ \\ =3\int \frac{t^2-1}{\sqrt{t^2-1}}dt=

razionalizzo così da ricondurmi ad un integrale notevole:

=3\int\sqrt{t^2-1}dt=\frac{3}{2}t \sqrt{t^2-1}-\frac{3}{2}\ln\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)+c_1

è un integrale dato per buono (ma solo alle superiori)

Risolviamo il secondo integrale:

I_2=\int\frac{6t}{\sqrt{t^2-1}}dt= 3\int \frac{2t}{\sqrt{t^2-1}}dt=6\sqrt{t^2-1}+c_2

Ho utilizzato la formula di integrazione:

\int [f(t)]^{\alpha}f'(t)dt= \frac{[f(t)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\qquad \alpha\ne -1

ed infine:

\\ I_3=\int \frac{4}{\sqrt{t^2-1}}dt=\\ \\ \\ =4\int\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt=\\ \\ \\ =4\ln(t+\sqrt{t^2-1})+c_3

Anche questo è un integrale notevole (superiori).

Ricomponi il tutto

\\ \int\frac{3x^2-2}{\sqrt{2x^2-4x}}dx= \\ \\ \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{3}{2}t \sqrt{t^2-1}-\frac{3}{2}\ln\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)+6\sqrt{t^2-1}+4\ln(t+\sqrt{t^2-1})\right)+k=

sommando i termini simili

=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{3}{2}t \sqrt{t^2-1}+\frac{5}{2}\ln\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)+6\sqrt{t^2-1}\right)+k=

A questo punto tornando in x, tenendo a mente la sostituzione fatta t=x-1:

=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{3}{2}(x-1) \sqrt{(x-1)^2-1}+\frac{5}{2}\ln\left((x-1)+\sqrt{(x-1)^2-1}\right)+6\sqrt{(x-1)^2-1}\right)+k

dove k è una costante additiva che ingloba le costanti scaturite dagli altri integrali. Potresti semplificare ulteriormente volendo.

Nomino questo integrale il più difficile presente su YouMath (tra quelli per le scuole superiori)!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Feda.Kira, Calliope, CarFaby, @ngel, unodicampagna
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