Integrale definito di (e^(x)/(e^(2x))+1) tra 0 e 1

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Integrale definito di (e^(x)/(e^(2x))+1) tra 0 e 1 #25372

avt
Feda.Kira
Punto
Salve a tutti, lunedì ho avuto la terza prova di matematica e purtroppo non deve essere andata tanto bene! La prof ci ha detto di fare gli esercizi a casa dato che all'orale ce li chiederà, ma sinceramente non capisco un tubo!

L'integrale in questione è un integrale definito, ed è questo

\int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}dx}

Grazie in anticipo emt

P.s io ho provato a risolverlo facendo diventare la parte sopra derivata di quello sotto, ma dubito altamente che sia giusto! emt
 
 

Integrale definito di (e^(x)/(e^(2x))+1) tra 0 e 1 #25375

avt
Omega
Amministratore
Ciao Feda.Kira emt

La fregatura con questo integrale

\int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}dx}

è che il numeratore sembra la derivata del denominatore, ma non lo è; anzi, non c'è nulla che possiamo fare, algebricamente parlando, per far sì che il numeratore sia la derivata del denominatore. Questo perché è e^{x} e non e^{2x}..

Integriamo per sostituzione, ponendo y=e^{x}, da cui x=\ln{(y)} e dx=\frac{1}{y}dy. Per quanto riguarda gli estremi di integrazione

x=0\to y=1

x=1\to y=e

L'integrale diventa

\int_{1}^{e}{\frac{y}{y^2+1}\frac{1}{y}dy}=\int_{1}^{e}{\frac{1}{y^2+1}dy}=

e, osservando che l'integranda è la derivata dell'arcotangente

=[\arctan{(y)}]_1^e=\arctan{(e)}-\arctan{(1)}=\arctan{(e)}-\frac{\pi}{4}

Ed ecco fatto! emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Feda.Kira
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Os