Limite in forma indeterminata 0/0

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#23623
avt
first100
Cerchio
Ho problemi a calcolare questo limite in forma indeterminata 0/0 in cui è presente la differenza di radici cubiche

lim_(x → 1)([3]√(2x+6)-√(8))/(x-1)

Grazie a chi mi aiuterà.
#23630
avt
Omega
Amministratore
Per calcolare il limite

lim_(x → 1)([3]√(2x+6)-[3]√(8))/(x-1) =

che genera una forma indeterminata [(0)/(0)], si può procedere per razionalizzazione e in particolare si può sfruttare la formula di scomposizione dei polinomi

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Per razionalizzare dunque possiamo moltiplicare e dividere la frazione per il termine

[3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64)

ottenendo così il limite equivalente

= lim_(x → 1)(([3]√(2x+6)-[3]√(8))([3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64)))/((x-1)([3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64))) = lim_(x → 1)(([3]√(2x+6))^3-([3]√(8))^3)/((x-1)([3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64))) =

Svolgiamo i cubi e sommare tra loro i termini simili

= lim_(x → 1)(2x+6-8)/((x-1)([3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64))) = lim_(x → 1)(2(x-1))/((x-1)([3]√((2x+6)^2)+[3]√(8(2x+6))+[3]√(64))) =

A questo punto si tratta solamente di semplificare il termine (x-1) e passare al limite per sostituzione diretta. Il risultato del limite è

= (2)/(3[3]√(8^(2))) = (1)/(6)

Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Ringraziano: first100
#23633
avt
first100
Cerchio
Grazie di cuore, se volessi invece risolvere con De l'Hopital? A me esce 1/12
#23635
avt
Omega
Amministratore
Ricontrolla i conti emt
#23636
avt
first100
Cerchio
Io faccio così, derivata al numeratore che mi dà:

(2)/(3 [3]√((2x+6)^2))

Sostituendo ho 1/12 !

P.S. sto cercando di usare il LaTeX !
#23637
avt
Omega
Amministratore
Sicuro? emt

(2)/(3 (8)^((2)/(3))) = (2)/(3·2^(2)) = (2)/(3·4) = (1)/(6)
Ringraziano: first100
#23638
avt
first100
Cerchio
emt
Ringraziano: Omega
#23640
avt
Omega
Amministratore
emt emt
#23683
avt
Omega
Amministratore
Dimenticavo: per le forme indeterminate, in generale puoi fare riferimento a questa tabella dei metodi di risoluzione.. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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