Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali)

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Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali) #23451

avt
toguttina
Punto
Buongiorno! Sono alle prese con quest'integrale indefinito di una funzione fratta, ma proprio non riesco a risolverlo. Qualsiasi aiuto è ben accetto!

L'integrale indefinito che devo calcolare è questo

\int{\frac{3t+1}{t^3+2t^2+t+2}dt}

Come ci si comporta quando la funzione integranda è una funzione fratta come la precedente?

Spero che la scrittura sia chiara. Grazie a tutti
 
 

Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali) #23467

avt
Omega
Amministratore
Ciao Toguttina emt

Per calcolare l'integrale

\int{\frac{3t+1}{t^3+2t^2+t+2}dt}

si può procedere con il metodo di integrazione delle funzioni razionali, o metodo dei fratti semplici (lo aggiungo nel titolo). Dopo aver scomposto il denominatore con il raccoglimento parziale

\frac{3t+1}{t^3+2t^2+t+2}=\frac{3t+1}{(t^2+1)(t+2)}=

si cerca una scomposizione della forma

=\frac{At+B}{t^2+1}+\frac{C}{t+2}=

calcoliamo il denominatore comune e raccogliamo i coefficienti dei termini in t

=\frac{(At+B)(t+2)+C(t^2+1)}{(t^2+1)(t+2)}=\frac{At^2+2At+Bt+2B+Ct^2+C}{(t^2+1)(t+2)}=

=\frac{(A+C)t^2+(2A+B)t+(2B+C)}{(t^2+1)(t+2)}

dopodiché applichiamo il principio di identità dei polinomi e confrontiamo il primo e l'ultimo termine della catena di uguaglianze: per trovare la decomposizione richiesta vogliamo

\begin{cases}A+C=0\\ 2A+B=3\\ 2B+C=1\\ \end{cases}

e risolvendo il sistema si trova come unica soluzione A=B=1,C=-1.

Morale: possiamo riscrivere l'integrale di partenza nella forma

\int{\frac{t+1}{t^2+1}dt}+\int{\frac{-1}{t+2}}dt=

Il primo lo riscriviamo sfruttando la linearità dell'integrale di Riemann

=\int{\frac{t}{t^2+1}dt}+\int{\frac{1}{t^2+1}}dt-\int{\frac{1}{t+2}}dt=

e a questo punto integrare è semplice

=\frac{1}{2}\log{(t^2+1)}+\arctan{(t)}-\log{(|t+2|)}+c

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali) #23512

avt
toguttina
Punto
Grazie mille è tutto chiarissimo. Solo una cosa quando applico il metodo dei fratti semplici devo avere sempre il numeratore di un grado inferiore del denominatore, giusto?

Re: Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali) #23520

avt
Danni
Sfera
Ciao Toguttina emt

Un'alternativa al calcolo con fratti semplici può essere il giochino algebrico che trovo divertentissimo e che parte dalla considerazione del denominatore fattorizzato:

(t^2 + 1)(t + 2)

Se scrivo il numeratore come

3t + 2 - 1 + t^2 - t^2

guarda che succede:

t^2 + 3t + 2 - t^2 - 1

(t + 1)(t + 2) - (t^2 + 1)

quindi

\frac{(t + 1)(t + 2) - (t^2 + 1)}{(t^2 + 1)(t + 2)} = \frac{t + 1}{t^2 + 1} - \frac{1}{t + 2} = \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{1}{t^2 + 1}- \frac{1}{t + 2}

Ed ora puoi calcolare:

\frac{1}{2} \int\frac{2t}{t^2 + 1}dt + \int\frac{1}{t^2 + 1}dt - \int\frac{1}{t + 2}dt =

 = \frac{1}{2}log(t^2 + 1) + atan(t) - log|t + 2| + c

Magica algebra... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Superstite

Re: Integrale indefinito di una funzione fratta (integrazione di funzioni razionali) #23522

avt
Omega
Amministratore
@Toguttina: sì, assolutamente emt
Ringraziano: Pi Greco, toguttina
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Os