Verificare la continuità e la derivabilità dal grafico di una funzione

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Verificare la continuità e la derivabilità dal grafico di una funzione #23325

avt
Gumball
Punto
Salve, vorrei capire come verificare la continuità e la derivabilità di una funzione a partire dal grafico.

Premetto che sono in 5 liceo pedagogico e che ho studiato solo funzioni razionali ed irrazionali, escludendo quindi funzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche.

Il mio incubo sono i grafici: spesso infatti mi è stato dato il grafico di una funzione e mi si è chiesto di verificare la continuità e la derivabilità della funzione a partire dal grafico della stessa. Oltre a verificare se la funzione fosse continua e/o derivabile, mi si è chiesto di verificare se si potessero applicare vari teoremi ( in particolare Rolle e Lagrange per la derivabilità e Weierstrass e il teorema degli zeri).

Se qualcuno può farmi qualche esempio e spiegarmelo ne sarei molto grata!
Grazie in anticipo!
 
 

Verificare la continuità e la derivabilità dal grafico di una funzione #23333

avt
Omega
Amministratore
Ciao Gumball, benvenuto in YouMath!

Sostanzialmente ti interessa, dato il grafico di una funzione y=f(x), capire se essa è continua e derivabile su un dato intervallo semplicemente dando un'occhiata al grafico.

Premessa: della continuità di una funzione reale in un punto e in un insieme del suo dominio ne parliamo nella lezione del link.

Per quanto riguarda la derivabilità in un punto e in un insieme del dominio, vedi la lezione del precedente link e questa: funzione derivabile in un intervallo.

Sapendo come riconoscere se una funzione è continua o meno e se è derivabile o meno in un certo insieme del suo dominio potrai facilmente capire se sono applicabili il teorema di Weierstrass, il teorema degli zeri di Bolzano, e i principali teoremi sulle derivate: Rolle, Cauchy, Lagrange.

Le altre ipotesi richieste da tali teoremi sono infatti di semplice verifica grafica.

Per vedere se una funzione è continua su un insieme, ad esempio su un intervallo, sarà sufficiente controllare che essa non presenti alcun tip di punto di discontinuità nell'intervallo. I tre possibili tipi di punti di discontinuità sono definiti e descritti nella lezione di quest'ultimo link, e sono affiancati da esempi grafici.

Dato che la continuità è condizione necessaria per la derivabilità, se una funzione non è continua su un intervallo puoi concludere velocemente che essa non sarà neppure derivabile sull'intervallo stesso.

Per quanto riguarda la derivabilità, si ragiona in modo del tutto analogo rispetto alla continuità ed è sufficiente controllare se siano presenti o meno dei punti di non derivabilità per la funzione sul dato intervallo. I tre tipi di punti di non derivabilità sono:

- Punti angolosi (i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale della funzione nel punto esistono entrambi finiti ma non coincidono).

Esempio: la funzione valore assoluto di x presenta in x=0 un punto angoloso.

- Flessi a tangente verticale (i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale della funzione nel punto sono entrambi infiniti dello stesso segno). Vedi ad esempio la discussione sui flessi a tangente verticale.

- Cuspidi (i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale della funzione nel punto sono infiniti di segno opposto).

Esempi: una funzione con una cuspide; altra spiegazione sulle cuspidi con esempi; vari esempi grafici sui punti di non derivabilità

Tutto chiaro?
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Gumball

Verificare la continuità e la derivabilità dal grafico di una funzione #23351

avt
Gumball
Punto
Sì, tutto molto chiaro! Ti ringrazio! emt
Ringraziano: Omega
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Os