Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1)

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Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22808

avt
Feda.Kira
Punto
Ciao a tutti,

mi sto preparando per la maturità, ma onestamente non so nulla emt .

Il mio problema è che mi perdo in un bicchier d'acqua, ad esempio nel calcolo degli integrali!

L'integrale in questione è l'integrale del prodotto tra x e un logaritmo, ed è questo:

integrale di x*ln(x-1)dx

riesco ad arrivare fino al 2-3 passaggio, ma poi mi blocco!

Grazie
 
 

Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22819

avt
frank094
Maestro
Ciao Feda.Kira, questo integrale può essere risolto senza alcun problema con l'integrazione per parti.

\int x \ln{(x - 1)} \, \text{d}x

La scelta delle funzioni in questo caso è piuttosto banale: è infatti più semplice trovare la derivata del logaritmo. Poniamo quindi che sia

f = \ln{(x - 1)} \qquad \implies \qquad \text{d}f = \frac{1}{x - 1} \, \text{d}x

\text{d}g = x \, \text{d}x \qquad \implies \qquad g = \frac{x^2}{2}

A questo punto, la formula di integrazione per parti ci dice che l'integrale di partenza è uguale a

\int x \ln{(x - 1)} \, \text{d}x = \ln{(x - 1)} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x - 1} \, \text{d}x

Questo secondo integrale è banalmente risolvibile integrando per sostituzione, in particolare ponendo che sia

u = x - 1 \implies \text{d}u = \text{d}x

Da cui si ottiene

\int \frac{x^2}{x - 1} \, \text{d}x \to \int \frac{(u + 1)^2}{u} \, \text{d}u

Sviluppiamo il quadrato di binomio a numeratore e procediamo con lo spezzare la frazione in tre più semplici e di integrazione immediata, proprio rifacendoci alla linearità dell'integrale.

\int \frac{u^2}{u} \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int \frac{2u}{u} \, \text{d}u

Semplificando si ottiene

\int u \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int 2 \, \text{d}u = \frac{u^2}{2} + \ln{|u|} + 2u

Sostituiamo la variabile iniziale

\int u \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int 2 \, \text{d}u = \frac{(x - 1)^2}{2} + \ln{|x - 1|} + 2(x - 1)

E sostituiamo nella formula iniziale

I = \ln{(x - 1)} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{(x - 1)^2}{2} + \ln{|x - 1|} + 2(x - 1) \right]

Sviluppa i calcoli nella parentesi quadra e avrai il risultato del tuo integrale emt !

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22821

avt
Omega
Amministratore
Ciao Feda.Kira emt

Per calcolare l'integrale del prodotto tra x e il logaritmo di (x-1) si può procedere per parti, prendendo come derivata x, la cui primitiva (a meno di costanti additive) è \frac{x^2}{2}.

\int{x\ln{(x-1)}dx}=\frac{x^2}{2}\ln{(x-1)}+\int{\frac{x^2}{2}\frac{1}{x-1}dx}

Per calcolare l'integrale

\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{x-1}dx}=\bullet

si può sommare e sottrarre a numeratore un 1 e riscrivere l'integrale

\bullet=\frac{1}{2}\int{\frac{x^2-1+1}{x-1}dx}=

sfruttando la linearità dell'integrale di Riemann

=\frac{1}{2}\int{\frac{x^2-1}{x-1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=

Per calcolare il primo dei due integrali è sufficiente scomporre il numeratore e semplificare

=\frac{1}{2}\int{(x+1)dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=

=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+c_1+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=

Il secondo integrale è immediato e l'integranda ha per primitiva un logaritmo

=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+c_1+\frac{1}{2}\log{(|x-1|)}+c_2

Ricomponi il tutto e ci sei emt
Ringraziano: frank094, Ifrit, CarFaby

Re: Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22931

avt
Danni
Sfera
Ciao Feda Kira emt
Ti mando un piccolo compendio che può esserti utile per l'argomento dell'integrazione per parti.
In bocca al lupo (studia emt)

1) Le funzioni
logaritmo
arcoseno
arcotangente
si considerano come fattore finito perché la loro derivata non è funzione trascendente.

2) Le potenze di x si considerano come
a) fattore finito se sono abbinate a funzioni esponenziali o goniometriche
b) fattore differenziale se sono abbinate alle funzioni indicate al punto 1)

3) In presenza del prodotto di sole funzioni goniometriche ed esponenziali la scelta è indifferente.

Se al secondo membro si ottiene un integrale più complicato rispetto a quello di partenza, si riprova scambiando i fattori.

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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Os