Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1)

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Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22808

Feda.Kira Punto	Ciao a tutti, mi sto preparando per la maturità, ma onestamente non so nulla . Il mio problema è che mi perdo in un bicchier d'acqua, ad esempio nel calcolo degli integrali! L'integrale in questione è l'integrale del prodotto tra x e un logaritmo, ed è questo: integrale di x*ln(x-1)dx riesco ad arrivare fino al 2-3 passaggio, ma poi mi blocco! Grazie

Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22819

frank094

Sfera

Ciao Feda.Kira, questo integrale può essere risolto senza alcun problema con l'integrazione per parti.

$\int x \ln{(x - 1)} \, \text{d}x$

La scelta delle funzioni in questo caso è piuttosto banale: è infatti più semplice trovare la derivata del logaritmo. Poniamo quindi che sia

$f = \ln{(x - 1)} \qquad \implies \qquad \text{d}f = \frac{1}{x - 1} \, \text{d}x$

$\text{d}g = x \, \text{d}x \qquad \implies \qquad g = \frac{x^2}{2}$

A questo punto, la formula di integrazione per parti ci dice che l'integrale di partenza è uguale a

$\int x \ln{(x - 1)} \, \text{d}x = \ln{(x - 1)} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x - 1} \, \text{d}x$

Questo secondo integrale è banalmente risolvibile integrando per sostituzione, in particolare ponendo che sia

$u = x - 1 \implies \text{d}u = \text{d}x$

Da cui si ottiene

$\int \frac{x^2}{x - 1} \, \text{d}x \to \int \frac{(u + 1)^2}{u} \, \text{d}u$

Sviluppiamo il quadrato di binomio a numeratore e procediamo con lo spezzare la frazione in tre più semplici e di integrazione immediata, proprio rifacendoci alla linearità dell'integrale.

$\int \frac{u^2}{u} \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int \frac{2u}{u} \, \text{d}u$

Semplificando si ottiene

$\int u \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int 2 \, \text{d}u = \frac{u^2}{2} + \ln{|u|} + 2u$

Sostituiamo la variabile iniziale

$\int u \, \text{d}u + \int \frac{1}{u} \, \text{d}u + \int 2 \, \text{d}u = \frac{(x - 1)^2}{2} + \ln{|x - 1|} + 2(x - 1)$

E sostituiamo nella formula iniziale

$I = \ln{(x - 1)} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{(x - 1)^2}{2} + \ln{|x - 1|} + 2(x - 1) \right]$

Sviluppa i calcoli nella parentesi quadra e avrai il risultato del tuo integrale emt

!

E' tutto chiaro emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22821

Omega

Amministratore

Ciao Feda.Kira emt

Per calcolare l'integrale del prodotto tra x e il logaritmo di (x-1) si può procedere per parti, prendendo come derivata

, la cui primitiva (a meno di costanti additive) è $\frac{x^2}{2}$ .

$\int{x\ln{(x-1)}dx}=\frac{x^2}{2}\ln{(x-1)}+\int{\frac{x^2}{2}\frac{1}{x-1}dx}$

Per calcolare l'integrale

$\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{x-1}dx}=\bullet$

si può sommare e sottrarre a numeratore un

e riscrivere l'integrale

$\bullet=\frac{1}{2}\int{\frac{x^2-1+1}{x-1}dx}=$

sfruttando la linearità dell'integrale di Riemann

$=\frac{1}{2}\int{\frac{x^2-1}{x-1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=$

Per calcolare il primo dei due integrali è sufficiente scomporre il numeratore e semplificare

$=\frac{1}{2}\int{(x+1)dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+c_1+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}=$

Il secondo integrale è immediato e l'integranda ha per primitiva un logaritmo

$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+c_1+\frac{1}{2}\log{(|x-1|)}+c_2$

Ricomponi il tutto e ci sei emt

Ringraziano: frank094, Ifrit, CarFaby

Re: Integrale del prodotto tra x e un logaritmo, xln(x-1) #22931

Danni

Sfera

Ciao Feda Kira emt

Ti mando un piccolo compendio che può esserti utile per l'argomento dell'integrazione per parti.
In bocca al lupo (studia emt

)

1) Le funzioni
logaritmo
arcoseno
arcotangente
si considerano come fattore finito perché la loro derivata non è funzione trascendente.

2) Le potenze di x si considerano come
a) fattore finito se sono abbinate a funzioni esponenziali o goniometriche
b) fattore differenziale se sono abbinate alle funzioni indicate al punto 1)

3) In presenza del prodotto di sole funzioni goniometriche ed esponenziali la scelta è indifferente.

Se al secondo membro si ottiene un integrale più complicato rispetto a quello di partenza, si riprova scambiando i fattori.

Ciao* emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby

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