Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche

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Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #22623

avt
John
Punto
Salve, mi sono iscritto perché ho molte difficoltà nel calcolo dei limiti, ed in particolare in quelli in cui ci sono radici, e spero mi possiate aiutare.

In questo momento, dopo aver provato in un sacco di modi, e soprattutto con De L'Hopital, ho problemi con questi due limiti.

Il primo contiene radice ed esponenziale:

\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{(x^2-4)e^x}}{x}

Il secondo contiene solo una radice:

\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x+3}

Sono entrambi nella forma infinito/infinito.

Il primo in particolare sarà probabilmente molto semplice ma a me al momento sembra insormontabile a causa della mia poca esperienza.

Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto mi vogliate dare.
Ringraziano: Omega
 
 

Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #22642

avt
Omega
Amministratore
Ciao John, innanzitutto benvenuto in YouMath!

Entrambi i limiti che proponi possono essere calcolati con un confronto diretto tra infiniti.

Dato che entrambi i limiti si riferiscono a funzioni fratte si tratta, sostanzialmente, di limitarsi a considerare gli infiniti principali che si trovano a numeratore e a denominatore.

Nel caso del primo limite abbiamo

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\sqrt[3]{(x^2-4)e^{x}}}{x}}

L'infinito principale dell'argomento della radice è chiaramente dato da x^2e^{x}, per cui possiamo equivalentemente calcolare il

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\sqrt[3]{x^2e^{x}}}{x}}

che riscriviamo nella forma

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{\frac{2}{3}}e^{\frac{x}{3}}}{x}}

e, dopo aver semplificato

\lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\frac{x}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}

possiamo calcolare direttamente il limite per sostituzione "diretta" e applicare le regole del confronto tra infiniti, per concludere che il limite vale +\infty


Nel caso del secondo limite ragionamenti del tutto analoghi ci permettono di calcolare, in luogo del limite

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x+3}}

il limite

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}}

vale a dire

\\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}}\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}=0^{+}

Risultato ottenuto mediante le semplici regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere..
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #22731

avt
John
Punto
Ciao, innanzi tutto grazie per la risposta.

Ho capito il tipo di ragionamento da fare in questi casi ma ho un dubbio riguardo l'ultimo passaggio del primo limite:

\lim_{x\to + \infty}\frac{e^\frac{x}{3}}{x^\frac{1}{3}}

Qui dici che possiamo applicare le regole del confronto tra i limiti, ma ti riferisci al fatto che si sa che la funzione esponenziale è in generale un infinito di ordine superiore rispetto alla funzione potenza?

Se sì, sai indicarmi eventualmente qualche risorsa (libro o articolo) contenente questo tipo di considerazioni (su infiniti/infinitesimi di rapporti noti)?

Grazie per l'attenzione.

Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #22740

avt
Omega
Amministratore
Certo che sì: devi solo dare un'occhiata al link che ti ho segnalato nella mia precedente risposta. Se poi vuoi approfondire il discorso limiti

Limiti, continuità, asintoti
Ringraziano: Pi Greco

Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #23132

avt
John
Punto
Ok letto. Ho le idee piano piano più chiare ma mi sta venendo un dubbio sul quale mi piacerebbe ricevere, se possibile, un chiarimento.

Sto cercando di calcolare il limite della funzione proposta all'inizio del thread per {x\to - \infty} (anziché per {x\to + \infty come fatto prima):

\lim_{x\to - \infty}{\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x+3}}

Per risolvere il limite per {x\to + \infty} era stato usato al primo passaggio il fatto che una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo è asintoticamente equivalente, per x\to + \infty, al monomio con esponente maggiore (in modo poi da poter trascurare gli infiniti di ordine inferiore).

Quanto detto vale anche per {x\to - \infty}, come in questo caso? Se no, se il ragionamento non fosse analogo, come si potrebbe procedere?

Ringrazio nuovamente.

Risoluzione forme di indecisione infinito/infinito con radici cubiche #23134

avt
Omega
Amministratore
Ri-ciao John,

quando x\to -\infty valgono considerazioni del tutto analogo nell'effettuare il confronto tra infiniti, qui e in generale: nel caso di funzioni polinomiali, o comunque di somme tra infiniti, vale lo stesso principio che regola il confronto tra infiniti. Vale a dire: vince l'infinito di ordine superiore.

Bisogna solo fare attenzione ai segni.
Ringraziano: Pi Greco
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Os