Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM)

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Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM) #22339

avt
Theoden9017
Punto
Approfitto della disponibilità per fare una domanda sul calcolo di limiti con de l'Hopital e chiedere la risoluzione del seguente limite:

\lim_{x\to1^+}\frac{\sin(\sqrt{x^2-1)}}{\ln{(x+3\sqrt{x^2-1}})}

E' l'esercizio numero 6 della scheda di esercizi di YouMath sui limiti da risolvere con de l'Hopital.
Ringraziano: kaaarin
 
 

Re: Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM) #22354

avt
Danni
Sfera
Calcoliamo la derivata prima del numeratore:

\frac{d}{dx}sin\sqrt{x^{2} - 1} = \frac{xcos\sqrt{x^{2} - 1}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Poi la derivata prima del denominatore:

\frac{d}{dx}ln(x + 3\sqrt{x^{2} - 1})= \frac{\sqrt{x^{2} - 1} + 3x}{(3\sqrt{x^2 - 1} + x)\sqrt{x^{2} - 1}}

Quindi calcoliamo:

\lim_{x\to1+}{\frac {x cos\sqrt{x^{2} - 1}(3\sqrt{x^{2} - 1} + x)}{\sqrt{x^{2} - 1} + 3x}}} = \frac{1}{3}

Ciao* emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit

Re: Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM) #22424

avt
Theoden9017
Punto
non riesco a capire perché a me compare un 2 in più nella derivata al denominatore XD

\ln{x+3\sqrt{x^2-1}}

\frac{1}{(x+3\sqrt{x^2-1})} * (1 + \frac {3}{2\sqrt{x^2-1}}) * 2x


\frac{3x+2x\sqrt{x^2-1}}{(3\sqrt{x^2-1}+x)(\sqrt{x^2-1})}



dov'è il mio errore?


grazie per l'attenzione emt
Ringraziano: Danni

Re: Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM) #22459

avt
Danni
Sfera
Ciao Theo emt

2x non moltiplica tutto il binomio presente nella seconda parentesi ma solo 3

\frac{d}{dx}(x + 3\sqrt{x^{2} - 1})= 1 + \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1} + 3x}{ \sqrt{x^{2} - 1}}}

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

Re: Calcolo dei limiti con de l'Hopital: esercizio 6 della scheda de l'Hopital (es. di YM) #22475

avt
Theoden9017
Punto
ah ecco cosa sbagliavo emt

grazie mille
Ringraziano: Danni
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Os