Minimo di una funzione con due parametri, studio di funzioni, calcolo dell'area sottesa

Ciao! Vorrei proporvi un esercizio sul minimo di una funzione dipendente da due parametri, sullo studio di funzione e sul calcolo dell'area della regione piana sottesa dal grafico della curva.

Assegnata la funzione , dove il logaritmo si intende in base e:

a) si determini per quali valori di e la ha un minimo relativo nel punto ;

b) si disegni la curva grafico della per i valori di e così ottenuti e calcoli l'area della regione finita di piano da essa delimitata con l'asse x.

Risultati di a): .


Inizia la fase di ripasso per l'esame. Visto che in questi giorni resterò a casa a studiare, ho deciso di affidarmi anche a questo sito per la consultazione di lezioni ed esercizi! Nel frattempo darò uno sguardo a qualche esercizio del libro...
Ringrazio in anticipo!

Ciao Sweetlove,

se vuoi preparare Matematica con le nostre lezioni e schede di esercizi...fai bene!

a) Per quanto riguarda l'esercizio, abbiamo la funzione dipendente da due parametri



e vogliamo determinare i valori dei due parametri tali per cui la funzione presenti nel punto un punto di minimo relativo, in cui essa assuma il valore .

Per fissare i valori dei due parametri, studiamo la monotonia della funzione mediante il segno della derivata prima.

Ancora prima di calcolare la derivata, dobbiamo determinare il dominio della funzione, che qui è dato da



Ora deriviamo: dobbiamo applicare due semplici regole dell'algebra delle derivate, oltre al teorema di derivazione della funzione composta



ossia, in una forma più compatta



Per avere un punto di minimo in la derivata prima della funzione, che è derivabile in tale punto per qualsiasi valore di , deve annullarvisi



da cui



La seconda condizione per determinare il valore dei parametri riguarda il valore assunto dalla funzione nel candidato punto di minimo





da cui ricaviamo la condizione



Si tratta ora di risolvere il sistema lineare



che ha come unica soluzione la coppia .


b) Proseguiamo nella risoluzione dell'esercizio: consideriamo la funzione con i precedenti valori dei parametri



l'esercizio ci chiede di disegnare il grafico della funzione, modo carino per dire: studia la funzione . (e se ti interessa la guida sullo studio di funzione- click).

Dominio: già visto,

Segno della funzione, intersezioni con gli assi: dobbiamo risolvere , che è una disequazione logaritmica



grazie alla legge dei segni, è sufficiente studiare separatamente il segno dei due fattori e poi desumerne il segno del prodotto





Le soluzioni vanno naturalmente limitate al dominio della funzione, e si trova che la funzione è positiva sull'insieme e negativa su .

Le uniche intersezioni con l'asse delle ascisse sono date da , mentre non può esserci LA intersezione con l'asse delle ordinate perché , dunque non si può valutare .

Limiti agli estremi del dominio: dobbiamo calcolare



-> calcolato con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.



-> idem come sopra.

La funzione presenta un asintoto verticale semplice dato da e non presenta alcun asintoto obliquo, infatti



-> per confronto tra infiniti, ma



Derivata prima, monotonia, punti di massimo e minimi:

sappiamo già che la derivata prima della funzione vale



per cui possiamo passare direttamente allo studio del segno, che non riserva particolari sorprese, infatti il denominatore è sempre positivo sul dominio della funzione mentre per quanto riguarda il numeratore



e non ci sono altri punti estremanti oltre al punto di minimo inizialmente considerato.

Lo studio della derivata seconda lo lascio a te, e passo direttamente al grafico della funzione



Per concludere, possiamo calcolare l'area della regione di piano finita e compresa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse. Dal grafico si vede che la regione è data dalla parte di piano sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo , e che la funzione è negativa su tale intervallo.

Ricordiamoci del significato geometrico dell'integrale secondo Riemann fornisce il valore dell'area sottesa dal grafico della funzione integranda con segno, e dato che ci si riferisce normalmente ad un valore d'area come ad una misura, quindi ad una grandezza positiva, invece di calcolare



dovremo calcolare l'integrale definito





Conviene calcolare separatamente i due integrali, partendo da questo



e del quale puoi trovare lo svolgimento qui: integrale del logaritmo.

Per quanto riguarda il secondo



integriamo per parti prendendo come derivata, la cui primitiva è , e applicando la formula di integrazione per parti









Rimettendo tutto insieme otteniamo l'area richiesta



Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere.