Area compresa tra due rette e una curva e integrali definiti

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Area compresa tra due rette e una curva e integrali definiti #21292

avt
SweetLove
Cerchio
Salve, ho un problema sul calcolo dell'area di una figura piana delimitata da rette e una curva e da calcolare con gli integrali definiti.

Costruire il grafico della funzione y=-x^4+2x^2. Dai punti di massimo si conducano le parallele all'asse y e si determini la misura dell'area della porzione di piano compresa tra tali rette, dall'asse x e dalla curva data.

Risultato: 14/15

Ringrazio in anticipo!
 
 

Area compresa tra due rette e una curva e integrali definiti #21299

avt
Danni
Sfera
Ciao Sweetlove,

nota che la curva è simmetrica rispetto all'asse y, infatti stiamo lavorando con una funzione pari

f(-x) = - (-x)^{4} + 2(-x)^{2} = - x^{4} + 2x^{2} = f(x)

Calcoliamo i punti di massimo e minimo:

\\ f '(x) = - 4x^{3} + 4x = - 4x(x^{2} - 1) > 0\\ \\ x(x + 1)(x - 1) < 0

verificata per

x < - 1 \cup 0 < x < 1

Abbiamo massimi in x = \pm\;1.

Grazie alla suddetta simmetria, per calcolare l'area richiesta ti basta calcolarne la metà, da 0 a 1 (primo quadrante) e poi moltiplicare per 2.

Ovviamente dobbiamo fare riferimento al significato geometrico dell'integrale

\int_{0}^{1}{(- x^{4} + 2x^{2})dx = \left[-\frac{x^{5}}{5} + \frac {2}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} = - \frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{7}{15}

L'area richiesta è quindi data da:

2 \cdot \frac{7}{15} = \frac{14}{15}

Nota che per il grafico della funzione devi effettuare uno studio di funzione completo. Dato che si tratta di una funzione semplice semplice, sono sicuro che non avrai problemi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, cicchibio, SweetLove
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Os