Problema di massimo e minimo con area del trapezio rettangolo

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Problema di massimo e minimo con area del trapezio rettangolo #21194

avt
ahimè!
Punto
Ritengo la mia capacità interpretativa dei problemi di massimo e minimo incredibilmente pessima...ad esempio ho difficoltà a risolvere questo problema di max e min di Geometria Analitica.

Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo problema?

Dato un triangolo ABC rettangolo in A con B=60° e BC= a, si determini un punto P sul lato AC in modo che sia massima l'area del trapezio rettangolo BHPK, dove H è la proiezione di P sull'ipotenusa BC e K è il punto in cui la parallela per P al lato BC interseca AB.

Grazie!!!
 
 

Problema di massimo e minimo con area del trapezio rettangolo #21538

avt
Danni
Sfera
Ciao ahimè! emt

Allora che facciamo? Dobbiamo risolvere per via trigonometrica o applicando la Geometria Euclidea?
Per noi che risolviamo è necessario conoscere il metodo che usate. D'altra parte, parlando di problemi di massimo, immagino che abbiate già studiato la Trigonometria. Provo a risolvertelo così, in caso contrario fammi un fischio.

Il triangolo rettangolo ABC ha

\widehat{ABC} = 60^{o}

\widehat{ACB} = 30^{o}

\overline{BC} = a

Di conseguenza

\overline{AC} = {\overline{BC}}{sen(60^{o})} = \frac{\sqrt{3}}{2}a

Indichiamo

\overline{HC} = x

0 < x < a

\overline{BH} = \overline{BC} - \overline{HC} = a - x

\overline{PH} = \overline{HC}tan(30^{o}) = \frac{\sqrt3}{3}x}

\overline{AP} = \overline{AC} - \overline{PC} = \frac{\sqrt{3}}{6}(3a - 4x)}}

\overline{KP} = \frac{\overline{AP}}{sen(60^{o})} = \frac{3a - 4x}{3}

A_{s}(BHPK) =(\overline{BH} + \overline{KP})\cdot \frac{  \overline{PH}}{2}

A_{s}(BHPK) = (a - x + \frac{3a - 4x}{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}x = \frac{\sqrt{3}}{18}(6ax - 7x^{2})

f(x) = \frac{\sqrt{3}}{18}(6ax - 7x^{2})

Derivata prima:

f '(x) = 6a - 14x = 2(3a - 7x) > 0

7x - 3a < 0

x < \frac{3}{7}a

+++++ \frac{3}{7}a -----

L'area massima del trapezio si ha per

x = \frac{3}{7}a

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar
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Os