Calcolo di aree di figure piane in Geometria Analitica

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Calcolo di aree di figure piane in Geometria Analitica #21073

avt
SweetLove
Cerchio
Salve a tutti! Spero che stiate trascorrendo un buon 1° giugno! Il mio studio con la tesina e con la matematica continua anche nei giorni festivi! emt Ed ecco che in questi giorni nuove sorprese (in senso darwiniano xD) si presentano nello studio, e soprattutto con gli esercizi di geometrica analitica in cui è richiesto il calcolo delle aree di figure piane con gli integrali. Ho un esercizio che dice:

data la parabola di equazione y=-x^2+4x+5, determinare la tangente di coefficiente angolare 2 e la misura dell'area della parte di piano limitata da questa tangente, dall'asse y e dalla parabola.

Risultato: y=2x+6; 1/3

Ringrazio in anticipo!!
 
 

Calcolo di aree di figure piane in Geometria Analitica #21081

avt
Danni
Sfera
Buon giorno Sweet emt

Fai un bel disegno della parabola che ha vertice in

V(2;9)

interseca l'asse x in

A(5;0) \cup B(-1;0)

e l'asse y in

C(0;5)

La retta tangente (t) ha coefficiente angolare

m(t) = 2

Detta xT l'ascissa del punto T di tangenza, applichiamo la formula

m = 2a(xT) + b

2 = 2(-1)(xT) + 4

da cui facilmente

xT = 1

Sostituiamo il valore dell'ascissa nell'equazione della parabola per determinare l'ordinata di T

yT = - 1 + 4 + 5 = 8

Il punto T di tangenza ha coordinate

T(1;8)

L'equazione di t è quindi

y = 2(x - 1) + 8

y = 2x + 6


Ora occupiamoci del calcolo dell'area che si determina con

\int_{0}^{1}{(2x + 6 + x^{2} - 4x - 5)dx}

\int_{0}^{1}{(x^{2} - 2x + 1)dx}

Lascia così, è più conveniente che non integrare il quadrato di binomio.

\int_{0}^{1}{(x^{2} - 2x + 1)dx} = \left[\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}

Ok? Buona festa anche a te emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, SweetLove
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Os