Volume di solidi di rotazione #21020

avt
SweetLove
Cerchio
Salve a tutti! Oggi abbiamo affrontato i volumi dei solidi di rotazione e mi trovo di fronte a due problemi.

Calcolare la misura del volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse x della porzione di piano limitata dalla parabola y^2=2x e dalla retta x=3.

Risultato: 9\pi.


Disegnare la curva y=x^2-x^3 e determinare

a) la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x;

b) la misura del volume del solido generato dalla superficie S in una rotazione attorno all'asse x.

Risultati: 1/12; pi greco/105.


La prof ha mostrato solo il procedimento generale per calcolare il volume di un solido dato dalla rotazione del grafico di una funzione, cioè si prende la funzione indicata nel problema, la si eleva al quadrato, si svolge l'integrale.

E oltre a questo non ha mostrato niente sui problemi più raffinati che via via si addentrano nella selva oscura matematica come questi xD
 
 

Volume di solidi di rotazione #21064

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt

Ovviamente conosci la formula che si deve usare in questo tipo di problemi:

V = \pi \int_{a}^{b} f^{2}(x) dx

1)

Riportata la parabola data, avendo essa il vertice all'origine ed essendo tutta nel primo e quarto quadrante, tracciata anche la retta di equazione x = 3, abbiamo a = 0 e b = 3 e quindi:

V = \pi \int_{0}^{3} y^{2} dx = \pi \int_{0}^{3} 2 x dx= 2 \pi \int_{0}^{3} x dx=2\pi\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{3}= 9\pi

2) La cubica da ruotare la vedi qui:

Sweetlovecubicadaruotare


I suoi punti di intersezione con l'asse x si trovano ponendo y = 0 e trovando x1 = 0 e x2 = 1.

Quindi la parte di piano finita S deve essere quella compresa fra la cubica che va da (0,0) a (0,1) e l'asse x. Dunque a = 0 e b = 1 sia per trovare l'area di S, sia il volume della figura solida da essa ottenuta nella sua rotazione attorno all'asse x.

a)

S=\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{0}^{1}(x^{2}-x^{3})dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}.

b)

V=\pi \int_{0}^{1}(x^{2}-x^{3})^{2}dx=\pi \int_{0}^{1}(x^{4}+x^{6}-2x^{5})dx=

=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{6}}{3}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{105}.

Ciao:)

Re: Volume di solidi di rotazione #21107

avt
Omega
Amministratore
Gud monin Sweetlove, gud monin Ispirato emt

Metto qui il link di una D&R in cui sono riportate le formule sui solidi di rotazione generati dalla rotazione del grafico di una funzione attorno all'asse x o attorno all'asse y, magari torna utile a qualcuno.
Ringraziano: Pi Greco, SweetLove
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Os