Calcolare l'area di una figura piana compresa tra due curve (integrali)

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Calcolare l'area di una figura piana compresa tra due curve (integrali) #20667

avt
SweetLove
Cerchio
Salve a tutti! Oggi mi imbatto in un problema che non saprei proprio da dove cominciare, chiede di calcolare l'area di una figura piana compresa tra due curve!

Disegnare le due curve di equazione y= -x^2+6x-5 e y=x^2-4x+3.

Trovare a quale distanza dall'asse y, internamente alla striscia determinata dalle perpendicolari all'asse x passanti per i due punti d'incontro delle due curve, deve essere condotta una retta parallela all'asse y stesso, affinché sia massimo il segmento di essa aventi gli estremi sulle due parabole.

Determinare poi la misura dell'area della figura piana limitata dai due archi delle curve date che hanno per estremi i punti comuni alle due curve stesse.

Risultati x=5/2 ; 9

Ringrazio in anticipo!
 
 

Calcolare l'area di una figura piana compresa tra due curve (integrali) #20695

avt
Danni
Sfera
Ciao Sweet emt cominciamo a determinare le coordinate dei punti di intersezione delle due parabole impostando un sistema con le loro equazioni

\begin{cases}x^{2} - 4x + 3 = - x^{2} + 6x - 5 \\ y = x^{2} - 4x + 3 \end{cases}

\begin{cases}x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ y = x^{2} - 4x + 3 \end{cases}

\begin{cases}(x - 1)(x - 4)= 0\\ y = x^{2} - 4x + 3 \end{cases}

Le coordinate dei due punti di intersezione sono quindi

A(1;0)

B(4;3)

e le due rette formanti la striscia richiesta hanno quindi equazione

x = 1

x = 4

La retta parallela all'asse y ha equazione generica

x = t

con le limitazioni

1 < t < 4

L'intersezione P della retta generica con la prima parabola ha coordinate

P(t;-t^{2} + 6t - 5)

L'intersezione Q con la seconda parabola ha coordinate

Q(t;t^{2} - 4t + 3)

\overline{PQ} = |y_P - y_Q| = |-t^{2} + 6t - 5 - t^{2} + 4t - 3| = - 2|t^2 - 5t + 4|

Poiché sicuramente è y_P > y_Q, risulta:

f(t) = - 2(t^{2} - 5t + 4)

la cui la derivata prima è

f'(t) = - 2(2t - 5) > 0

2t - 5 < 0

t < 5/2

Il segmento è massimo per

t = 5/2

e la retta richiesta ha quindi equazione

x = 5/2

Ora calcoliamo l'area indicata con l'integrale definito (ricordati del significato geometrico degli integrali definiti):

\\ \mbox{Area}=\int_{1}^{4}{(-x^{2} + 6x - 5 - x^{2} + 4x + 3)}dx}= \\ \\ \\ = - 2 \int_{1}^{4}{(x^{2} - 5x + 4)}dx} =

Una primitiva dell'integranda si può calcolare facilmente a patto di conoscere la regola di integrazione per le potenze:

=-2\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{5x^{2}}{2}+4x\right]_{1}^{4}=

Non resta che effettuare le dovute valutazioni e fare dei semplici conti algebrici:

\\ =- 2\left(\frac{64}{3} - 40 + 16 - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) = \\ \\ \\ = - 2\left(- 7 + \frac{5}{2}\right) =\\ \\ \\ = - 2\left(-\frac{9}{2}\right) = 9

e ci siamo, l'area della parte di piano richiesta dall'esercizio è 9. Tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, SweetLove, CarFaby

Calcolare l'area di una figura piana compresa tra due curve (integrali) #20821

avt
SweetLove
Cerchio
Tutto chiaro!!emt
Ringraziano: Omega, Danni
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Os