Numero di zeri di una funzione con un parametro in un intervallo

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Numero di zeri di una funzione con un parametro in un intervallo #19154

avt
genfry92
Cerchio
Salve a tutti. Ho riscontrato un problema nell'esecuzione di un esercizio sul numero di zeri di una funzione in un intervallo. La funzione dipende da un parametro, potete aiutarmi? emt

La richiesta riguarda il numero di zeri di una funzione dipendente da un parametro espressa in forma di equazione:

quante soluzioni ammette x^3-kx-2=0 per -2<x<2 ?

Grazie per la collaborazione emt
 
 

Numero di zeri di una funzione con un parametro in un intervallo #19181

avt
Omega
Amministratore
Ciao Genfry emt

Gli esercizi di questo tipo sono carini, perché lasciano molto spazio al ragionamento e alla scelta degli strumenti analitici da utilizzare per giungere alla soluzione.

Abbiamo una funzione polinomiale

f(x)=x^3-kx-2

e vogliamo determinare il numero di zeri di tale funzione sull'intervallo (-2,+2). La funzione dipende da un parametro k\in\mathbb{R}.

Cerchiamo di farci un'idea in merito: avendo a che fare con una funzione polinomiale, sappiamo di per certo che f è continua sull'intervallo (-2,+2) perché continua su tutto l'asse reale.

Valutiamola agli estremi dell'intervallo:

f(-2)=-8+2k-2=2k-10

f(+2)=+8-2k-2=6-2k

Per quali valori di k abbiamo valutazioni negative o positive agli estremi dell'intervallo?

VALUTAZIONE ESTREMO SINISTRO: positivo se k>5, negativo se k<5, nullo se k=5

VALUTAZIONE ESTREMO DESTRO: positivo se k<3, negativo se k>3, nullo se k=3

Come si comporta la funzione sull'intervallo considerato? Cresce? Decresce? Calcoliamo la derivata prima

f'(x)=3x^2-k

Studiamone il segno al variare di k, e distinguiamo vari casi...

1) k<0: la derivata prima è sempre positiva, la funzione f è quindi strettamente crescente sull'intervallo.

D'altra parte essendo la funzione sempre crescente ci sono solamente due possibilità: una intersezione con l'asse delle ascisse, cioè un solo zero, oppure nessuno zero.

Per avere uno zero la funzione deve assumere all'estremo sinistro un valore negativo, il che succede solo se k<5, e deve assumere all'estremo destro un valore positivo, il che succede se e solo se k<3. Il sistema tra le tre condizioni su k ci dice che, limitandoci a valori k<0, la funzione ha sempre una e una sola intersezione con l'asse delle ascisse.

2) k=0: la derivata prima è f'(x)=3x^2, per cui è positiva e la funzione è crescente (in senso lato, cioè non decrescente). Non è difficile vedere che con tale valore di k abbiamo una e una sola intersezione con l'asse delle ascisse.

3) Segno della derivata prima al variare di k>0.

3x^2-k>0\to {tex}x<-\sqrt{\frac{k}{3}}\vee x>+\sqrt{\frac{k}{3}}

In particolare, la disequazione di sinistra la possiamo tralasciare, e possiamo limitarci a considerare la disequazione di destra

x>+\sqrt{\frac{k}{3}}

3-a) Se \sqrt{\frac{k}{3}}>+2, la funzione è decrescente sull'intervallo [-2,+2] e crescente da \sqrt{\frac{k}{3}} in poi

3-b) Se \sqrt{\frac{k}{3}}\in (0,2), la funzione è decrescente fino al punto \sqrt{\frac{k}{3}} e crescente da \sqrt{\frac{k}{3}} in poi.

Ragiona in modo analogo a quanto visto nel punto 1), e fammi sapere se ci sono problemi. In ogni caso devi tenere conto dei seguenti aspetti:

1) insieme di crescita/decrescita per i valori di k considerati;

2) valori della funzione agli estremi al variare di k.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, genfry92

Numero di zeri di una funzione con un parametro in un intervallo #19245

avt
genfry92
Cerchio
Grazie mille. Controllerò nuovamente per farmi un'idea più chiara! gentilissimo emt Ciao
Ringraziano: Omega
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Os