Calcolare l'area con gli integrali definiti

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Calcolare l'area con gli integrali definiti #19092

avt
genfry92
Cerchio
Salve a tutti! Ho un problema da risolvere che richiede di calcolare l'area con gli integrali definiti, per la precisione dovrei calcolare un'area, so bene di dovere sfruttare gli integrali definiti ma ho alcuni dubbi al riguardo.

La funzione è la seguente

f(x)=x^2-\frac{2}{x}

Il problema è invece: calcolare l'area della regione tra f(x) e la retta y=5.

Io credo di dover trovare le intersezioni tra la funzione e la retta y=5, poi calcolare l'area con l'integrale definito dal valore minore al maggiore (delle intersezioni) della f(x). Un aiutino?

Grazie mille per la collaborazione emt
 
 

Calcolare l'area con gli integrali definiti #19133

avt
Omega
Amministratore
Ok, vediamo un po' come risolvere emt

Il procedimento da seguire è proprio quello che hai indicato: bisogna determinare le intersezioni tra il grafico della funzione

y=x^2-\frac{2}{x}

e la retta orizzontale

y=5

Dobbiamo risolvere il sistema dato dalle equazioni dei due grafici, che equivale a risolvere l'equazione

x^2-\frac{2}{x}=5

che a sua volta equivale a

\frac{x^3-5x-2}{x}=0

Le soluzioni dell'equazione sono tutti e soli gli zeri del polinomio a numeratore, ossia le soluzioni di

x^3-5x-2=0

Scomponendo il polinomio con Ruffini e zero x=-2, si trovano

x_{1}=-2,x_{2}=1-\sqrt{2},x_3=1+\sqrt{2}

Per uno svolgimento completo dell'esercizio è necessario farsi un'idea del grafico della funzione f(x): effettuando un rapidissimo studio di funzione si vede che l'unica regione limitata compresa tra i due grafici corrisponde all'intervallo [-2,1-\sqrt{2}].

L'area richiesta si calcola dunque come

\int_{-2}^{1-\sqrt{2}}{[5-f(x)]dx}=

\int_{-2}^{1-\sqrt{2}}{[5-x^2+\frac{2}{x}]dx}

perché sull'intervallo considerato la funzione f(x) è positiva ma assume valori minori di 5.

Se dovessi avere problemi con l'integrale, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, Iusbe

Calcolare l'area con gli integrali definiti #19150

avt
genfry92
Cerchio
Grazie mille, sei stato gentilissimo. Ora ho capito!! Hai risolto il mio dubbio. emt
Ringraziano: Omega
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Os