Studio di una funzione razionale #17111

avt
kikkax
Punto
X favore mi aiutereste a risolvere qsta funzione fratta?
y= 4-3x-x^2/x^2+5x+6
trovare dominio, studio del segno, intersezione con gli assi, minimi e massimi e derivate ... mi potete aiutare .?? grazie
 
 

Studio di una funzione razionale #17131

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kikkax emt

La funzione è questa qui?

f(x)=\frac{-x^2-3x+4}{x^2+5x+6}

Studio di una funzione razionale #17132

avt
kikkax
Punto
Siì è questa!

Studio di una funzione razionale #17136

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

Riscriviamo la funzione scomponendo numeratore e denominatore

f(x)=\frac{-x^2-3x+4}{x^2+5x+6}

f(x)=\frac{-(x^2+3x-4)}{x^2+5x+6}

f(x)=\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}

e cominciamo determinandone il dominio: l'unica condizione da imporre è che non si annulli il denominatore, per cui

(x+2)(x+3)\neq 0\to x\neq -2\vee x\neq -3

cosicché Dom(f)=(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,+\infty)

Per il segno della funzione e per le intersezioni con gli assi dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\geq 0, vale a dire

\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}> 0

le cui soluzioni sono date da

-4<x<-3\vee -2<x<1

insieme sul quale la funzione è positiva, mentre sulla restante parte del dominio è negativa. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono date dai punti in cui la funzione cambia segno, ossia x=-4,x=1, e la intersezione con l'asse delle ordinate è data da

f(0)=\frac{-(4)(-1)}{(2)(3)}=+\frac{4}{6}

Per i limiti agli estremi del dominio, si tratta di calcolare

\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}}=-1

(entrambi calcolati per confronto tra infiniti)

\lim_{x\to (-2)^{-}}{\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}}''=''\frac{-(2)(-3)}{(0^{-})(1)}=-\infty

\lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}}''=''\frac{-(2)(-3)}{(0^{+})(1)}=+\infty

\lim_{x\to (-3)^{-}}{\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}}''=''\frac{-(1)(-4)}{(-1)(0^{-})}=+\infty

\lim_{x\to (-3)^{+}}{\frac{-(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+3)}}=\frac{-(1)(-4)}{(-1)(0^{+})}=-\infty

(dove i precedenti limiti sono stati calcolati con le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi).

Ne deduciamo che la funzione presenta due asintoti verticali in x=-2,x=-3 e un asintoto orizzontale y=-1 che approssima il comportamento della funzione sia nell'intorno di -\infty che nell'intorno di +\infty.

Derivata prima e massimi e minimi relativi e assoluti

Conviene fare riferimento all'espressione della funzione

f(x)=\frac{-x^2-3x+4}{x^2+5x+6}

e applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni

f'(x)=\frac{(-2x-3)(x^2+5x+6)-(-x^2-3x+4)(2x+5)}{(x^2+5x+6)^2}

facendo i conti otteniamo

f'(x)=-\frac{2(x^2+10x+19)}{(x^2+5x+6)^2}

il denominatore è sempre positivo sul dominio della funzione, dunque studiare il segno della derivata prima equivale a risolvere la disequazione

-(x^2+10x+19)> 0

che ha soluzioni -5-\sqrt{6}< x< -5+\sqrt{6}

su tale intervallo la derivata prima è positiva, dunque la funzione è crescente mentre sulla restante parte del dominio è decrescente. Abbiamo dunque un minimo relativo in x=-5-\sqrt{6} e un massimo relativo in x=-5+\sqrt{6}.

Lo studio della derivata seconda, se richiesto dal testo dell'esercizio, lo lascio a te emt

Il grafico è il seguente

Studiodifunzionefrattakikkax
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Studio di una funzione razionale #17145

avt
kikkax
Punto
ti ringrazio tanto x l'aiuto!
Ringraziano: Omega
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Os