Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi)

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Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi) #16714

avt
giogio93
Punto
Potete aiutarmi con questo studio completo di una funzione con prodotto tra x e un'esponenziale con esponente fratto?

f(x)=xe^{-\frac{1}{x}}

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi) #16731

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giorgio93,

per studiare la funzione

f(x)=xe^{-\frac{1}{x}}

cominciamo con il dominio. L'unica condizione da imporre riguarda il non annullarsi del denominatore dell'esponente, per cui

Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

Per quanto riguarda il segno e le intersezioni con gli assi, risolviamo la disequazione f(x)>0. Essendo la funzione esponenziale sempre positiva, la disequazione si riduce a

x>0

intervallo sul quale f(x) è positiva, mentre su x<0 è negativa. f presenta come unica intersezione con entrambi gli assi (0,0).

Limiti agli estremi del dominio: dobbiamo calcolare

\lim_{x\to -\infty}{xe^{-\frac{1}{x}}}''=''(-\infty)\cdot 1''=''-\infty

\lim_{x\to +\infty}{xe^{-\frac{1}{x}}}''=''(+\infty)\cdot 1''=''+\infty

dove entrambi i precedenti limiti sono stati calcolati con le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Lo stesso dicasi nel caso del

\lim_{x\to 0^{+}}{xe^{-\frac{1}{x}}}''=''0^{+}\cdot 0^{+}=0^{+}

mentre per quanto riguarda il calcolo di

\lim_{x\to 0^{+}}{xe^{-\frac{1}{x}}}=-\infty

bisogna procedere sostituendo y=\frac{1}{x}, per cui y\to +\infty quando x\to 0^{+} e applicando il teorema di De l'Hopital.

Dal calcolo dei limiti precedentemente effettuato si deduce che x=0 è un asintoto verticale per la funzione. Dobbiamo controllare se ci sono asintoti obliqui o meno.

Calcoliamo

m=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{xe^{-\frac{1}{x}}}{x}}=1

e

q=\lim_{x\to \pm\infty}{f(x)-mx}=\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{xe^{-\frac{1}{x}}}{x}}=

=\lim_{x\to \pm\infty}{x(e^{-\frac{1}{x}}-1)}=(*)=\lim_{x\to \pm\infty}{x\left(-\frac{1}{x}\right)}=-1

dove in (*) si applica il limite notevole dell'esponenziale (tabella dei limiti notevoli - come usare i limiti notevoli).

La funzione presenta dunque come asintoto obliquo la retta di equazione

y=x-1

sia nell'intorno di -\infty che nell'intorno di +\infty.

Derivata prima e massimi e minimi relativi e assoluti.

Per calcolare la derivata prima dobbiamo applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni prima e il teorema di derivazione della funzione composta poi. Si trova

f'(x)=1\cdot e^{-\frac{1}{x}}+xe^{-\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}

ossia

f'(x)=e^{-\frac{1}{x}}\left[\frac{x+1}{x}\right]

Non resta che studiarne il segno, vale a dire risolvere la disequazione f(x)> 0. Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva la precedente disequazione si riduce a

\frac{x+1}{x}> 0

le cui soluzioni sono date da x\leq -1< x> 0, insieme sul quale la derivata prima è positiva e dunque f è crescente, mentre su (-1,0) f è decrescente.

La funzione presenta in x=-1 un punto di massimo relativo.

Lo studio della derivata seconda lo lascio a te; il grafico della funzione è il seguente

Giorgio93graficoxexp 1fracx
Ringraziano: Pi Greco, giogio93
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Os