Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi)

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Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi) #16714

avt
giogio93
Punto
Potete aiutarmi con questo studio completo di una funzione con prodotto tra x e un'esponenziale con esponente fratto?

Effettuare lo studio della funzione

f(x)=xe^{-\frac{1}{x}}

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Aiuto studio completo funzione (compresi massimi, minimi e flessi) #16731

avt
Omega
Amministratore
Per studiare la funzione

f(x)=xe^{-\frac{1}{x}}

cominciamo con il dominio. L'unica condizione da imporre riguarda il non annullarsi del denominatore dell'esponente, per cui

Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

Per quanto riguarda il segno e le intersezioni con gli assi, risolviamo la disequazione f(x)>0. Essendo la funzione esponenziale sempre positiva, la disequazione si riduce a

x>0

intervallo sul quale f(x) è positiva, mentre su x<0 è negativa. f(x) presenta come unica intersezione con gli assi il punto (0,0).


Limiti agli estremi del dominio

I limiti agli estremi del dominio sono:

\\ \lim_{x\to -\infty}{xe^{-\frac{1}{x}}}=[(-\infty)\cdot 1]=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{xe^{-\frac{1}{x}}}=[(+\infty)\cdot 1]=+\infty

dove entrambi sono stati calcolati con le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Lo stesso dicasi nel caso del limite destro per x\to 0

\lim_{x\to 0^{+}}{xe^{-\frac{1}{x}}}=[0^{+}\cdot 0^{+}]=0^{+}

mentre per quanto riguarda il calcolo del limite:

\lim_{x\to 0^{-}}{xe^{-\frac{1}{x}}}=-\infty

bisogna procedere sostituendo y=\frac{1}{x}, per cui y\to +\infty quando x\to 0^{+} e applicando il teorema di De l'Hopital.

Dal calcolo dei limiti precedentemente effettuato si deduce che x=0 è un asintoto verticale per la funzione. Dobbiamo controllare se ci sono asintoti obliqui o meno.

Calcoliamo

m=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{xe^{-\frac{1}{x}}}{x}}=1

e

\\ q=\lim_{x\to \pm\infty}{f(x)-mx}=\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{xe^{-\frac{1}{x}}}{x}}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to \pm\infty}{x(e^{-\frac{1}{x}}-1)}=(*)=\lim_{x\to \pm\infty}{x\left(-\frac{1}{x}\right)}=-1

dove in (*) si applica il limite notevole dell'esponenziale (tabella dei limiti notevoli - come usare i limiti notevoli).

La funzione presenta dunque come asintoto obliquo la retta di equazione

y=x-1

sia nell'intorno di -\infty che nell'intorno di +\infty.


Derivata prima e massimi e minimi relativi e assoluti

Per calcolare la derivata prima dobbiamo applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni prima e il teorema di derivazione della funzione composta poi. Si trova

f'(x)=1\cdot e^{-\frac{1}{x}}+xe^{-\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}

ossia

f'(x)=e^{-\frac{1}{x}}\left[\frac{x+1}{x}\right]

Non resta che studiarne il segno, vale a dire risolvere la disequazione f(x)> 0. Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva la precedente disequazione si riduce a

\frac{x+1}{x}> 0

le cui soluzioni sono date da

x<-1 \ \vee \ x> 0

insieme sul quale la derivata prima è positiva e dunque f(x) è una funzione crescente sugli intervalli

(-\infty, -1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (0,+\infty)

Sull'intervallo (-1,0), la funzione è invece decrescente.

Poiché f'(-1)=0, il punto x_0=-1 è a conti fatto un punto stazionario: più precisamente è un punto di massimo relativo; il massimo associato è:

M=f(-1)=(-1)e^{-\frac{1}{-1}}=-e


Derivata seconda della funzione

Usiamo le regole di derivazione per calcolare la derivata seconda

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{-\frac{1}{x}}(x+1)}{x}\right]= \\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[e^{-\frac{1}{x}}(x+1)]x-e^{-\frac{1}{x}}(x+1)\frac{d}{dx}[x]}{x^2}=

Sviluppando le derivate rimaste, ricaviamo la seguente espressione

=\frac{\left(\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}(x+1)+e^{-\frac{1}{x}}\right)x-e^{-\frac{1}{x}}(x+1)}{x^2}=

che una volta esplicitati i prodotti e sommati i termini simili diventa

=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}

La derivata seconda della funzione è quindi

f''(x)=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}

Studiamo il segno di f''(x) così da ricavare gli intervalli in cui f(x) è una funzione convessa e quelli in cui f(x) è concava.

Impostiamo quindi la disequazione

f''(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}>0

e calcoliamone l'insieme soluzione osservando che il numeratore è sempre positivo, mentre il denominatore è:

- positivo se e solo se x>0;

- negativo se e solo se x<0;

Possiamo quindi affermare la derivata seconda è:

- positiva nell'intervallo (0,+\infty);

- negativa nell'intervallo (-\infty,0);

e concludere che f(x) è:

- convessa in (0,+\infty);

- concava in (-\infty, 0).

Ecco il grafico!

Giorgio93graficoxexp 1fracx
Ringraziano: Pi Greco, giogio93
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